Номер 11.50, страница 217 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Ультрафиолетовое и рентгеновское излучение - номер 11.50, страница 217.

Условие.

11.50*. Рентгеновская трубка, работающая под напряжением 50 кВ при силе тока 2 мА, излучает $5 \cdot 10^{13}$ фотонов в секунду. Считая среднюю длину волны излучения равной 0,1 нм, найдите КПД трубки.

Решение.

Дано

Напряжение, $U = 50 \text{ кВ} = 50 \cdot 10^3 \text{ В} = 5 \cdot 10^4 \text{ В}$

Сила тока, $I = 2 \text{ мА} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Количество фотонов, излучаемых в секунду, $n = 5 \cdot 10^{13} \text{ с}^{-1}$

Средняя длина волны излучения, $\lambda = 0,1 \text{ нм} = 0,1 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 10^{-10} \text{ м}$

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

КПД трубки, $\eta$

Решение

Коэффициент полезного действия (КПД) рентгеновской трубки определяется как отношение полезной мощности излучения $P_{полезн}$ к полной (затраченной) электрической мощности $P_{затр}$.

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{затр}}$

Затраченная мощность — это мощность электрического тока, потребляемая трубкой. Она вычисляется по формуле:

$P_{затр} = U \cdot I$

Подставим данные из условия:

$P_{затр} = (5 \cdot 10^4 \text{ В}) \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ А}) = 10 \cdot 10^1 \text{ Вт} = 100 \text{ Вт}$

Полезная мощность — это мощность рентгеновского излучения. Она равна суммарной энергии всех фотонов, излучаемых за единицу времени (за 1 секунду). Энергия одного фотона $E_ф$ находится по формуле Планка:

$E_ф = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Поскольку трубка излучает $\text{n}$ фотонов в секунду, полезная мощность будет равна:

$P_{полезн} = n \cdot E_ф = n \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Вычислим полезную мощность:

$P_{полезн} = 5 \cdot 10^{13} \text{ с}^{-1} \cdot \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{10^{-10} \text{ м}}$

$P_{полезн} = 5 \cdot 10^{13} \cdot \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{10^{-10}} \text{ Вт} = 5 \cdot 10^{13} \cdot 19,89 \cdot 10^{-16} \text{ Вт}$

$P_{полезн} = 99,45 \cdot 10^{-3} \text{ Вт} \approx 0,0995 \text{ Вт}$

Теперь мы можем рассчитать КПД трубки, подставив найденные значения мощностей в формулу для $\eta$:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{затр}} = \frac{0,0995 \text{ Вт}}{100 \text{ Вт}} = 0,000995$

Для наглядности выразим КПД в процентах:

$\eta = 0,000995 \cdot 100\% = 0,0995\% \approx 0,1\%$

Ответ: КПД трубки составляет примерно 0,1%.