Номер 11.46, страница 217 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Ультрафиолетовое и рентгеновское излучение - номер 11.46, страница 217.

Условие.

11.46. Электроны достигают анода рентгеновской трубки, имея скорость $1,2 \cdot 10^5 \text{ км/с}$. Найдите:

а) напряжение, под которым работает трубка;

б) наименьшую длину волны возникающего рентгеновского излучения.

Решение.

Дано:

Скорость электронов $v = 1.2 \cdot 10^5$ км/с

Заряд электрона $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка $h = 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$v = 1.2 \cdot 10^5 \text{ км/с} = 1.2 \cdot 10^5 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 1.2 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

а) $\text{U}$ — напряжение, под которым работает трубка

б) $\lambda_{min}$ — наименьшая длина волны рентгеновского излучения

Решение:

а)

Электроны в рентгеновской трубке ускоряются электрическим полем. Согласно теореме о кинетической энергии, работа $\text{A}$, совершаемая полем над электроном, равна приобретенной им кинетической энергии $E_k$. Предполагаем, что начальная скорость электронов пренебрежимо мала.

Работа электрического поля по перемещению заряда $\text{e}$ в поле с разностью потенциалов $\text{U}$ равна:

$A = eU$

Кинетическая энергия электрона, разогнанного до скорости $\text{v}$, равна:

$E_k = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравнивая работу и кинетическую энергию, получаем:

$eU = \frac{m_e v^2}{2}$

Отсюда можно выразить напряжение $\text{U}$:

$U = \frac{m_e v^2}{2e}$

Подставим числовые значения:

$U = \frac{(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1.2 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})} = \frac{9.1 \cdot 1.44 \cdot 10^{-31+16}}{3.2 \cdot 10^{-19}} \text{ В}$

$U = \frac{13.104 \cdot 10^{-15}}{3.2 \cdot 10^{-19}} \text{ В} = 4.095 \cdot 10^4 \text{ В} \approx 41 \cdot 10^3 \text{ В} = 41 \text{ кВ}$

Ответ: напряжение, под которым работает трубка, равно 41 кВ.

б)

Наименьшая длина волны рентгеновского излучения соответствует фотону с максимальной энергией. Такой фотон рождается, когда электрон при торможении на аноде отдает всю свою кинетическую энергию одному фотону.

Энергия фотона $E_{photon}$ связана с его длиной волны $\lambda$ соотношением:

$E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$

Приравниваем кинетическую энергию электрона $E_k$ энергии фотона с наименьшей длиной волны $\lambda_{min}$:

$E_k = \frac{hc}{\lambda_{min}}$

Используя выражение для кинетической энергии, получаем:

$\frac{m_e v^2}{2} = \frac{hc}{\lambda_{min}}$

Отсюда выражаем $\lambda_{min}$:

$\lambda_{min} = \frac{2hc}{m_e v^2}$

Подставим числовые значения:

$\lambda_{min} = \frac{2 \cdot (6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})}{(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1.2 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{3.978 \cdot 10^{-25}}{13.104 \cdot 10^{-15}} \text{ м}$

$\lambda_{min} \approx 3.036 \cdot 10^{-11} \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр и выражая в пикометрах ($1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$):

$\lambda_{min} \approx 3.0 \cdot 10^{-11} \text{ м} = 30 \text{ пм}$

Ответ: наименьшая длина волны возникающего рентгеновского излучения равна 30 пм.