Номер 11.48, страница 217 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Ультрафиолетовое и рентгеновское излучение - номер 11.48, страница 217.

Условие.

11.48. Найдите коротковолновую границу непрерывного рентгеновского спектра, если известно, что уменьшение приложенного к рентгеновской трубке напряжения на 23 кВ увеличивает искомую длину волны в 2 раза.

Решение.

Дано:

Уменьшение напряжения, $ \Delta U = 23 \text{ кВ} $

Отношение длин волн, $ \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2 $

Перевод в СИ:

$ \Delta U = 23 \times 10^3 \text{ В} $

Справочные данные:

Постоянная Планка, $ h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $

Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с} $

Элементарный заряд, $ e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл} $

Найти:

Начальную коротковолновую границу рентгеновского спектра, $ \lambda_1 $.

Решение:

Коротковолновая граница $ \lambda_{min} $ непрерывного рентгеновского спектра (тормозного излучения) определяется условием, что вся кинетическая энергия электрона, ускоренного напряжением $ U $, переходит в энергию одного рентгеновского фотона. Эта связь описывается формулой Дюана-Ханта:

$ E_k = E_{ph} \Rightarrow eU = \frac{hc}{\lambda_{min}} $

где $ e $ — элементарный заряд, $ U $ — ускоряющее напряжение, $ h $ — постоянная Планка, $ c $ — скорость света.

Из этой формулы можно выразить минимальную длину волны:

$ \lambda_{min} = \frac{hc}{eU} $

Обозначим начальные условия: начальное напряжение — $ U_1 $, соответствующая ему коротковолновая граница — $ \lambda_1 $. Тогда можно записать:

$ \lambda_1 = \frac{hc}{eU_1} \quad (1) $

По условию задачи, напряжение уменьшили на величину $ \Delta U $, и оно стало равным $ U_2 = U_1 - \Delta U $. При этом коротковолновая граница увеличилась в 2 раза, то есть $ \lambda_2 = 2\lambda_1 $. Для нового состояния запишем аналогичное уравнение:

$ \lambda_2 = \frac{hc}{eU_2} $

Подставим в него известные соотношения для $ \lambda_2 $ и $ U_2 $:

$ 2\lambda_1 = \frac{hc}{e(U_1 - \Delta U)} \quad (2) $

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными, $ \lambda_1 $ и $ U_1 $. Чтобы решить ее, выразим $ U_1 $ из уравнения (1):

$ U_1 = \frac{hc}{e\lambda_1} $

Подставим полученное выражение для $ U_1 $ в уравнение (2):

$ 2\lambda_1 = \frac{hc}{e(\frac{hc}{e\lambda_1} - \Delta U)} $

Преобразуем это уравнение, чтобы найти $ \lambda_1 $:

$ 2\lambda_1 \cdot e \left(\frac{hc}{e\lambda_1} - \Delta U\right) = hc $

Раскроем скобки в левой части:

$ 2\lambda_1 \cdot \frac{e \cdot hc}{e\lambda_1} - 2\lambda_1 e \Delta U = hc $

$ 2hc - 2e\lambda_1\Delta U = hc $

Перенесем $ hc $ в правую часть, а слагаемое с $ \Delta U $ — в левую (сменив знаки):

$ 2hc - hc = 2e\lambda_1\Delta U $

$ hc = 2e\lambda_1\Delta U $

Наконец, выразим искомую длину волны $ \lambda_1 $:

$ \lambda_1 = \frac{hc}{2e\Delta U} $

Подставим числовые значения физических констант и данных из условия задачи:

$ \lambda_1 = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 23 \times 10^3 \text{ В}} \approx \frac{19.878 \times 10^{-26}}{73.692 \times 10^{-16}} \text{ м} \approx 0.27 \times 10^{-10} \text{ м} $

Переведем результат в пикометры ($ 1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м} $):

$ \lambda_1 \approx 27 \times 10^{-12} \text{ м} = 27 \text{ пм} $

Ответ: $ \lambda_1 \approx 27 \text{ пм} $.