Номер 3, страница 162 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. На фотонной ракете, летящей со скоростью 225000 км/с относительно Земли, установлен ускоритель, разгоняющий электроны до скорости 240000 км/с относительно ракеты в направлении ее движения. Какова скорость этих электронов относительно Земли?

Дано:

Скорость фотонной ракеты относительно Земли, $v = 225000$ км/с

Скорость электронов относительно ракеты, $u' = 240000$ км/с

Скорость света в вакууме, $c \approx 300000$ км/с

Перевод в систему СИ:

$v = 225000 \text{ км/с} = 2.25 \times 10^8 \text{ м/с}$

$u' = 240000 \text{ км/с} = 2.4 \times 10^8 \text{ м/с}$

$c = 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость электронов относительно Земли, $\text{u}$.

Решение:

В данной задаче скорости ракеты и электронов являются релятивистскими, то есть составляют значительную долю от скорости света. Поэтому для нахождения суммарной скорости необходимо применять релятивистский закон сложения скоростей, а не классический (галилеевский).

Пусть Земля — это неподвижная система отсчета K, а ракета — движущаяся система отсчета K', которая движется со скоростью $\text{v}$ относительно K. Скорость электронов в движущейся системе K' равна $u'$. Скорости $\text{v}$ и $u'$ сонаправлены.

Релятивистский закон сложения скоростей имеет вид:

$u = \frac{v + u'}{1 + \frac{v \cdot u'}{c^2}}$

где $\text{u}$ — искомая скорость электронов относительно Земли (системы К).

Подставим заданные значения в формулу. Удобнее производить вычисления в км/с, так как все скорости даны в этих единицах, и они сократятся.

$u = \frac{225000 + 240000}{1 + \frac{225000 \cdot 240000}{300000^2}} = \frac{465000}{1 + \frac{5.4 \cdot 10^{10}}{9 \cdot 10^{10}}}$

Упростим выражение в знаменателе:

$u = \frac{465000}{1 + \frac{54}{90}} = \frac{465000}{1 + 0.6} = \frac{465000}{1.6}$

Вычислим итоговое значение скорости:

$u = 290625$ км/с.

Как видно, результирующая скорость, хотя и очень велика, не превышает скорость света, что соответствует принципам специальной теории относительности.

Ответ: скорость этих электронов относительно Земли равна 290625 км/с.