Задание, страница 163 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание

Проверьте расчетами значения изменения массы 1 кг воздуха и воды при увеличении температуры на 100 К, сравните полученные результаты с результатами, представленными выше.

Расчет для воздуха

Дано:

Масса воздуха $m_{воздуха} = 1$ кг

Изменение температуры $\Delta T = 100$ К

Удельная теплоемкость воздуха (при постоянном давлении) $c_{воздуха} \approx 1005$ Дж/(кг·К)

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Изменение массы воздуха $\Delta m_{воздуха}$

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса и энергия связаны соотношением $E = mc^2$. Следовательно, изменение энергии системы $\Delta E$ приводит к изменению ее массы $\Delta m$ по формуле:

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2$

При нагревании телу сообщается количество теплоты $\text{Q}$, которое идет на увеличение его внутренней энергии. Таким образом, можно считать, что $\Delta E = Q$. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле:

$Q = c_{сп} \cdot m \cdot \Delta T$

где $c_{сп}$ - удельная теплоемкость вещества, $\text{m}$ - масса, а $\Delta T$ - изменение температуры.

Объединив эти формулы, получим выражение для изменения массы:

$\Delta m \cdot c^2 = c_{сп} \cdot m \cdot \Delta T$

$\Delta m = \frac{c_{сп} \cdot m \cdot \Delta T}{c^2}$

Теперь подставим числовые значения для воздуха:

$\Delta m_{воздуха} = \frac{1005 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ К}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{100500 \text{ Дж}}{9 \cdot 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2}$

$\Delta m_{воздуха} = \frac{1.005 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг} \approx 1.117 \cdot 10^{-12} \text{ кг}$

Ответ: При увеличении температуры 1 кг воздуха на 100 К его масса увеличится на $1.117 \cdot 10^{-12}$ кг.

Расчет для воды

Дано:

Масса воды $m_{воды} = 1$ кг

Изменение температуры $\Delta T = 100$ К

Удельная теплоемкость воды $c_{воды} = 4200$ Дж/(кг·К)

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Изменение массы воды $\Delta m_{воды}$

Решение:

Используем ту же формулу, что и для воздуха:

$\Delta m = \frac{c_{сп} \cdot m \cdot \Delta T}{c^2}$

Подставим числовые значения для воды:

$\Delta m_{воды} = \frac{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ К}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{420000 \text{ Дж}}{9 \cdot 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2}$

$\Delta m_{воды} = \frac{4.2 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг} \approx 4.667 \cdot 10^{-12} \text{ кг}$

Ответ: При увеличении температуры 1 кг воды на 100 К его масса увеличится на $4.667 \cdot 10^{-12}$ кг.

Сравнение результатов

Задание предполагает сравнение полученных результатов с некими "результатами, представленными выше". Поскольку эти данные отсутствуют, мы можем сравнить полученные значения между собой.

Изменение массы воды ($\Delta m_{воды} \approx 4.667 \cdot 10^{-12}$ кг) примерно в 4.2 раза больше, чем изменение массы воздуха ($\Delta m_{воздуха} \approx 1.117 \cdot 10^{-12}$ кг).

$\frac{\Delta m_{воды}}{\Delta m_{воздуха}} = \frac{4.667 \cdot 10^{-12} \text{ кг}}{1.117 \cdot 10^{-12} \text{ кг}} \approx 4.18$

Это соотношение почти в точности равно соотношению удельных теплоемкостей воды и воздуха:

$\frac{c_{воды}}{c_{воздуха}} = \frac{4200 \text{ Дж/(кг·К)}}{1005 \text{ Дж/(кг·К)}} \approx 4.18$

Вывод: изменение массы тела при нагревании прямо пропорционально его удельной теплоемкости. Так как удельная теплоемкость воды значительно выше, чем у воздуха, для ее нагревания требуется больше энергии, что и приводит к большему увеличению массы.