Номер 4, страница 167 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Как доказать, что для принципа относительности Галилея и теорий Эйнштейна выполняется принцип соответствия?

Решение

Принцип соответствия, сформулированный Нильсом Бором, утверждает, что любая новая, более общая физическая теория должна переходить в старую, проверенную теорию в той области, где старая теория применима и дает верные результаты. В данном случае, специальная теория относительности (СТО) Эйнштейна является более общей теорией, а классическая механика, основанная на принципе относительности Галилея, — частным случаем этой теории.

Чтобы доказать, что для принципа относительности Галилея и теории Эйнштейна выполняется принцип соответствия, необходимо показать, что формулы СТО переходят в формулы классической механики при скоростях, значительно меньших скорости света ($v \ll c$).

Рассмотрим преобразования координат при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) K к другой ИСО K', которая движется относительно K со скоростью $\text{v}$ вдоль оси X.

1. Преобразования Галилея (классическая механика):

$x' = x - vt$
$y' = y$
$z' = z$
$t' = t$

Здесь время абсолютно и течет одинаково во всех ИСО.

2. Преобразования Лоренца (теория Эйнштейна):

$x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma(x - vt)$
$y' = y$
$z' = z$
$t' = \frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma(t - \frac{vx}{c^2})$

Здесь $\text{c}$ — скорость света в вакууме, а $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — фактор Лоренца.

Теперь проведем предельный переход для малых скоростей, то есть устремим отношение $\frac{v}{c}$ к нулю ($\frac{v}{c} \to 0$).

При $v \ll c$, величина $\frac{v^2}{c^2}$ становится пренебрежимо малой: $\frac{v^2}{c^2} \to 0$.

Рассмотрим, как при этом изменится фактор Лоренца $\gamma$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \to \frac{1}{\sqrt{1 - 0}} = 1$

Подставим это предельное значение в преобразования Лоренца:

$x' = \gamma(x - vt) \to 1 \cdot (x - vt) = x - vt$
$t' = \gamma(t - \frac{vx}{c^2}) \to 1 \cdot (t - \frac{vx}{c^2})$

В выражении для времени $t'$ слагаемое $\frac{vx}{c^2}$ также стремится к нулю, поскольку в знаменателе стоит огромная величина $c^2$. Поэтому $t' \to t$.

Таким образом, при $v \ll c$ преобразования Лоренца принимают вид:

$x' \to x - vt$
$y' = y$
$z' = z$
$t' \to t$

Это в точности совпадает с преобразованиями Галилея. Точно так же можно показать соответствие и для других физических законов.

Пример 1: Релятивистский закон сложения скоростей.

Скорость $u'$ тела в системе K' связана со скоростью $\text{u}$ в системе K формулой:

$u' = \frac{u - v}{1 - \frac{uv}{c^2}}$

Если скорости $\text{u}$ и $\text{v}$ малы по сравнению со скоростью света ($u \ll c$ и $v \ll c$), то знаменатель $1 - \frac{uv}{c^2} \to 1$. Формула упрощается до $u' \approx u - v$, что является классическим законом сложения скоростей Галилея.

Пример 2: Релятивистская кинетическая энергия.

Кинетическая энергия в СТО: $E_k = m_0c^2(\gamma - 1) = m_0c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right)$.

При $v \ll c$ можно использовать разложение в ряд Тейлора для $\gamma$: $\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$.

Подставляя это в формулу для энергии, получаем:

$E_k \approx m_0c^2 \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} - 1\right) = m_0c^2 \left(\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right) = \frac{1}{2}m_0v^2$

Это классическая формула для кинетической энергии.

Ответ: Доказательство выполнения принципа соответствия заключается в математическом показе того, что при малых скоростях движения ($v \ll c$) уравнения специальной теории относительности Эйнштейна (преобразования Лоренца, релятивистские законы сложения скоростей, энергии, импульса) переходят в соответствующие уравнения классической механики, основанной на принципе относительности Галилея. Этот предельный переход демонстрирует, что классическая механика является частным случаем релятивистской механики, применимым в мире малых скоростей.