Номер 2, страница 167 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Солнце излучает световой поток мощностью $P = 3,9 \cdot 10^{26}$ Вт. За какое время масса Солнца уменьшится в $n = 3$ раза? Излучение Солнца считать постоянным. Массу Солнца примите равной $2 \cdot 10^{30}$ кг.

Дано:

Мощность излучения Солнца $P = 3,9 \cdot 10^{26}$ Вт
Начальная масса Солнца $M_0 = 2 \cdot 10^{30}$ кг
Коэффициент уменьшения массы $n = 3$
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Время $\text{t}$, за которое масса Солнца уменьшится в $\text{n}$ раз.

Решение:

Уменьшение массы Солнца происходит за счет излучения энергии. Согласно знаменитой формуле Эйнштейна, связывающей массу и энергию, излученная энергия $\Delta E$ соответствует потере массы $\Delta m$ по соотношению:

$\Delta E = \Delta m c^2$

Мощность $\text{P}$ по определению — это энергия, излучаемая в единицу времени $\text{t}$. Таким образом, $P = \frac{\Delta E}{t}$.

Выразим из этой формулы время $\text{t}$ и подставим в него выражение для энергии:

$t = \frac{\Delta E}{P} = \frac{\Delta m c^2}{P}$

По условию задачи, масса Солнца должна уменьшиться в $n=3$ раза. Это означает, что конечная масса Солнца $M_f$ будет составлять одну треть от его начальной массы $M_0$:

$M_f = \frac{M_0}{n}$

Потеря массы $\Delta m$ будет равна разнице между начальной и конечной массами:

$\Delta m = M_0 - M_f = M_0 - \frac{M_0}{n} = M_0 \left(1 - \frac{1}{n}\right) = M_0 \frac{n-1}{n}$

Теперь подставим это выражение для потерянной массы $\Delta m$ в формулу для времени $\text{t}$:

$t = \frac{M_0 (n-1) c^2}{n P}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения из условия:

$t = \frac{2 \cdot 10^{30} \text{ кг} \cdot (3-1) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{3 \cdot 3,9 \cdot 10^{26} \text{ Вт}}$

$t = \frac{2 \cdot 10^{30} \cdot 2 \cdot 9 \cdot 10^{16}}{11,7 \cdot 10^{26}} \text{ с} = \frac{36 \cdot 10^{46}}{11,7 \cdot 10^{26}} \text{ с} \approx 3,077 \cdot 10^{20} \text{ с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точным из заданных значений $P = 3,9 \cdot 10^{26}$ Вт), получаем:

$t \approx 3,1 \cdot 10^{20} \text{ с}$

Ответ: $t \approx 3,1 \cdot 10^{20}$ с.