Номер 4, страница 167 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. Определите скорость протона, если его кинетическая энергия: а)$E_1 = 1 \text{ МэВ}$; б)$E_2 = 1 \text{ ГэВ}$. Масса протона равна $1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$, $1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$.

Дано:

$E_{k1} = 1 \text{ МэВ}$

$E_{k2} = 1 \text{ ГэВ}$

$m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$1 \text{ эВ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Скорость света $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод значений энергии в систему СИ (Джоули):

$E_{k1} = 1 \text{ МэВ} = 1 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

$E_{k2} = 1 \text{ ГэВ} = 1 \cdot 10^9 \text{ эВ} = 10^9 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1,6 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Найти:

$v_1$ — ?

$v_2$ — ?

Решение:

Для решения задачи необходимо определить, следует ли применять классическую или релятивистскую механику. Для этого нужно сравнить кинетическую энергию протона с его энергией покоя $E_0$.

Энергия покоя протона вычисляется по формуле $E_0 = m_p c^2$:

$E_0 = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} \approx 1,503 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$.

Для удобства сравнения выразим энергию покоя в мегаэлектрон-вольтах (МэВ):

$E_0 \approx \frac{1,503 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 9,39 \cdot 10^8 \text{ эВ} = 939 \text{ МэВ}$.

а) $E_1 = 1$ МэВ

Так как кинетическая энергия $E_{k1} = 1 \text{ МэВ}$ значительно меньше энергии покоя $E_0 \approx 939 \text{ МэВ}$, движение протона можно считать нерелятивистским. Следовательно, используем классическую формулу для кинетической энергии:

$E_k = \frac{m v^2}{2}$

Выразим из формулы скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{2 E_{k1}}{m_p}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}} \approx \sqrt{1,916 \cdot 10^{14} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 1,38 \cdot 10^7 \text{ м/с}$.

Ответ: $v_1 \approx 1,38 \cdot 10^7 \text{ м/с}$.

б) $E_2 = 1$ ГэВ

В этом случае кинетическая энергия $E_{k2} = 1 \text{ ГэВ} = 1000 \text{ МэВ}$ сопоставима с энергией покоя $E_0 \approx 939 \text{ МэВ}$. Это означает, что скорость протона близка к скорости света, и необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии:

$E_k = (\gamma - 1)m_p c^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

Из этой формулы выразим фактор Лоренца:

$\gamma = \frac{E_{k2}}{m_p c^2} + 1 = \frac{E_{k2}}{E_0} + 1$

$\gamma = \frac{1000 \text{ МэВ}}{939 \text{ МэВ}} + 1 \approx 1,065 + 1 = 2,065$.

Теперь из определения фактора $\gamma$ найдем скорость $v_2$:

$v_2 = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

Подставим вычисленное значение $\gamma$:

$v_2 = c\sqrt{1 - \frac{1}{2,065^2}} \approx c\sqrt{1 - \frac{1}{4,264}} \approx c\sqrt{1 - 0,2345} \approx c\sqrt{0,7655} \approx 0,875c$.

Вычислим численное значение скорости $v_2$:

$v_2 \approx 0,875 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 2,625 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

Ответ: $v_2 \approx 2,63 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.