Номер 1, страница 167 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. Космический корабль массой $m_0 = 5m$ движется на первом участке траектории со скоростью $v_1 = 8 \text{ км/с}$, на втором — со скоростью $u_1 = 2,9 \cdot 10^8 \text{ м/с}$. Определите релятивистскую массу корабля при каждой скорости полета.

Дано:

Масса покоя корабля, m₀ = 5 т
Скорость на первом участке, v₁ = 8 км/с
Скорость на втором участке, v₂ = 2,9 ⋅ 10⁸ м/с
Скорость света в вакууме, c ≈ 3 ⋅ 10⁸ м/с

Перевод в систему СИ:
m₀ = 5 т = 5 ⋅ 1000 кг = 5 ⋅ 10³ кг
v₁ = 8 км/с = 8 ⋅ 10³ м/с

Найти:

Релятивистскую массу на первом участке, m₁ - ?
Релятивистскую массу на втором участке, m₂ - ?

Решение:

Релятивистская масса m связана с массой покоя m₀ и скоростью движения v формулой из специальной теории относительности:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

1. Определим релятивистскую массу корабля на первом участке траектории при скорости v₁ = 8 ⋅ 10³ м/с.
Найдем отношение квадрата скорости корабля к квадрату скорости света:
$\frac{v_1^2}{c^2} = \left(\frac{8 \cdot 10^3 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}\right)^2 = \left(\frac{8}{3} \cdot 10^{-5}\right)^2 \approx (2.67 \cdot 10^{-5})^2 \approx 7.11 \cdot 10^{-10}$
Это значение крайне мало по сравнению с единицей. Оно показывает, что релятивистские эффекты при такой скорости будут пренебрежимо малы. Масса корабля практически не изменится.
$m_1 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v_1^2}{c^2}}} = \frac{5 \cdot 10^3 \text{ кг}}{\sqrt{1 - 7.11 \cdot 10^{-10}}}$
Приращение массы $\Delta m = m_1 - m_0$ будет ничтожно малым. Поэтому можно с высокой точностью считать, что релятивистская масса на первом участке равна массе покоя:
$m_1 \approx m_0 = 5 \cdot 10^3 \text{ кг} = 5$ т.

2. Определим релятивистскую массу корабля на втором участке траектории при скорости v₂ = 2,9 ⋅ 10⁸ м/с.
Эта скорость близка к скорости света, поэтому релятивистские эффекты будут значительными.
Найдем отношение квадрата скорости корабля к квадрату скорости света:
$\frac{v_2^2}{c^2} = \left(\frac{2.9 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}\right)^2 = \left(\frac{2.9}{3}\right)^2 = \frac{8.41}{9} \approx 0.9344$
Теперь подставим это значение в формулу для релятивистской массы:
$m_2 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v_2^2}{c^2}}} = \frac{5 \cdot 10^3 \text{ кг}}{\sqrt{1 - \frac{8.41}{9}}} = \frac{5 \cdot 10^3 \text{ кг}}{\sqrt{\frac{9 - 8.41}{9}}} = \frac{5 \cdot 10^3 \text{ кг}}{\sqrt{\frac{0.59}{9}}}$
$m_2 = \frac{5 \cdot 10^3}{\frac{\sqrt{0.59}}{3}} = \frac{15 \cdot 10^3}{\sqrt{0.59}} \text{ кг}$
$\sqrt{0.59} \approx 0.7681$
$m_2 \approx \frac{15000}{0.7681} \approx 19528.7 \text{ кг}$
Переведем массу в тонны: $19528.7 \text{ кг} \approx 19.53$ т.

Ответ: релятивистская масса корабля на первом участке при скорости 8 км/с практически не отличается от массы покоя и составляет $m_1 \approx 5$ т; релятивистская масса на втором участке при скорости 2,9 ⋅ 10⁸ м/с составляет $m_2 \approx 19.53$ т.