Номер 3, страница 167 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Определите кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью $v = 0,75c$, по классической и релятивистской формуле. Масса покоя электрона равна $9,1 \cdot 10^{-31}$ кг.

Дано:

Скорость электрона $v = 0,75c$
Масса покоя электрона $m_0 = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Кинетическую энергию по классической формуле, $E_{k \text{ кл}}$
Кинетическую энергию по релятивистской формуле, $E_{k \text{ рел}}$

Решение:

По классической формуле

Классическая кинетическая энергия вычисляется по формуле: $E_{k \text{ кл}} = \frac{m_0 v^2}{2}$

Сначала выразим скорость электрона в системе СИ (м/с): $v = 0,75 \cdot c = 0,75 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 2,25 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Теперь подставим числовые значения в формулу: $E_{k \text{ кл}} = \frac{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (2,25 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{2}$

$E_{k \text{ кл}} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 5,0625 \cdot 10^{16}}{2} \text{ Дж} = \frac{46,06875 \cdot 10^{-15}}{2} \text{ Дж} \approx 2,303 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Округляя, получаем: $E_{k \text{ кл}} \approx 2,3 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.

Ответ: кинетическая энергия электрона, рассчитанная по классической формуле, составляет приблизительно $2,3 \cdot 10^{-14}$ Дж.

По релятивистской формуле

Релятивистская кинетическая энергия представляет собой разность между полной энергией движущейся частицы $\text{E}$ и ее энергией покоя $E_0$: $E_{k \text{ рел}} = E - E_0 = mc^2 - m_0c^2$

Релятивистская масса $\text{m}$ связана с массой покоя $m_0$ соотношением $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. Тогда формула для кинетической энергии примет вид: $E_{k \text{ рел}} = m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1)$

В нашем случае $v/c = 0,75$. Подставим это отношение в формулу: $E_{k \text{ рел}} = m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1 - (0,75)^2}} - 1) = m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1 - 0,5625}} - 1) = m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{0,4375}} - 1)$

Рассчитаем энергию покоя электрона $E_0 = m_0c^2$: $E_0 = (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 8,19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Теперь рассчитаем релятивистский множитель: $\frac{1}{\sqrt{0,4375}} - 1 \approx \frac{1}{0,66144} - 1 \approx 1,51185 - 1 = 0,51185$

Наконец, вычисляем релятивистскую кинетическую энергию: $E_{k \text{ рел}} \approx (8,19 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}) \cdot 0,51185 \approx 4,192 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Округляя, получаем: $E_{k \text{ рел}} \approx 4,2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.

Ответ: кинетическая энергия электрона, рассчитанная по релятивистской формуле, составляет приблизительно $4,2 \cdot 10^{-14}$ Дж.