Номер 3, страница 184 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Мощность излучения абсолютно черного тела равна 10 кВт. Определите величину излучающей поверхности тела, если известно, что длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности его энергетической светимости, $7 \cdot 10^{-5} \text{ см}$. Постоянная Вина $b = 2,89 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{ К}$.

3. Дано:

Мощность излучения $P = 10 \text{ кВт}$

Длина волны, на которую приходится максимум излучения, $\lambda_{max} = 7 \cdot 10^{-5} \text{ см}$

Постоянная Вина $b = 2,89 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К}$

Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$

Перевод в систему СИ:

$P = 10 \text{ кВт} = 10 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 10^4 \text{ Вт}$

$\lambda_{max} = 7 \cdot 10^{-5} \text{ см} = 7 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 7 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Величину излучающей поверхности $\text{S}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя законами излучения абсолютно черного тела: законом смещения Вина и законом Стефана-Больцмана.

1. Сначала найдем температуру $\text{T}$ абсолютно черного тела, используя закон смещения Вина, который связывает длину волны максимума излучения с температурой:

$\lambda_{max} \cdot T = b$

Отсюда выразим температуру:

$T = \frac{b}{\lambda_{max}}$

2. Затем используем закон Стефана-Больцмана, который описывает полную мощность излучения $\text{P}$ с поверхности тела площадью $\text{S}$ при температуре $\text{T}$:

$P = \sigma S T^4$

Из этой формулы выразим искомую площадь поверхности $\text{S}$:

$S = \frac{P}{\sigma T^4}$

3. Подставим выражение для температуры $\text{T}$ из первого шага в формулу для площади $\text{S}$:

$S = \frac{P}{\sigma \left(\frac{b}{\lambda_{max}}\right)^4} = \frac{P \cdot \lambda_{max}^4}{\sigma \cdot b^4}$

4. Теперь подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчеты:

$S = \frac{10^4 \text{ Вт} \cdot (7 \cdot 10^{-7} \text{ м})^4}{5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \cdot (2,89 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{К})^4}$

$S = \frac{10^4 \cdot 7^4 \cdot (10^{-7})^4}{5,67 \cdot 10^{-8} \cdot (2,89)^4 \cdot (10^{-3})^4} \frac{\text{Вт} \cdot \text{м}^4}{\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \cdot \text{м}^4 \cdot \text{К}^4}$

$S = \frac{10^4 \cdot 2401 \cdot 10^{-28}}{5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 69,89 \cdot 10^{-12}} \text{ м}^2$

$S = \frac{2401 \cdot 10^{-24}}{396,2763 \cdot 10^{-20}} \text{ м}^2$

$S \approx 6,059 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Округлим результат до сотых. Можно также перевести результат в квадратные сантиметры для наглядности:

$6,06 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 6,06 \cdot 10^{-4} \cdot (100 \text{ см})^2 = 6,06 \cdot 10^{-4} \cdot 10^4 \text{ см}^2 = 6,06 \text{ см}^2$.

Ответ: величина излучающей поверхности тела составляет примерно $6,06 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$ (или $6,06 \text{ см}^2$).