Номер 4, страница 184 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Тренированный глаз, длительно находящийся в темноте, способен в особых случаях реагировать на световой поток, приносящий в зрачок всего 50 фотонов в секунду. Определите минимальную мощность, воспринимаемую глазом. Длину волны принять равной 500 нм.

Дано:

Число фотонов в секунду, $n = N/t = 50$ с⁻¹

Длина волны, $\lambda = 500$ нм

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

$\lambda = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Минимальная мощность, $P_{min}$ — ?

Решение:

Минимальная мощность, воспринимаемая глазом, определяется общей энергией светового потока, попадающего в зрачок за единицу времени. Мощность $\text{P}$ связана с энергией $\text{E}$ и временем $\text{t}$ соотношением:

$P = \frac{E}{t}$

Общая энергия $\text{E}$ светового потока, состоящего из $\text{N}$ фотонов, равна произведению числа фотонов на энергию одного фотона $E_{ph}$:

$E = N \cdot E_{ph}$

Подставив это в формулу для мощности, получим:

$P = \frac{N \cdot E_{ph}}{t} = \frac{N}{t} \cdot E_{ph}$

Величина $\frac{N}{t}$ представляет собой число фотонов, попадающих в зрачок за секунду. По условию, это $n = 50$ с⁻¹. Таким образом:

$P_{min} = n \cdot E_{ph}$

Энергия одного фотона $E_{ph}$ определяется по формуле Планка:

$E_{ph} = h\nu$

где $\text{h}$ — постоянная Планка, а $\nu$ — частота света. Частоту можно выразить через длину волны $\lambda$ и скорость света $\text{c}$:

$\nu = \frac{c}{\lambda}$

Следовательно, энергия одного фотона равна:

$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$

Теперь мы можем записать окончательную формулу для минимальной мощности:

$P_{min} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$P_{min} = 50 \cdot \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}}$

$P_{min} = 50 \cdot \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{5 \cdot 10^{-7}} \text{ Вт} = 50 \cdot 3,978 \cdot 10^{-19} \text{ Вт}$

$P_{min} = 198,9 \cdot 10^{-19} \text{ Вт} \approx 1,99 \cdot 10^{-17} \text{ Вт}$

Ответ: минимальная мощность, воспринимаемая глазом, составляет приблизительно $1,99 \cdot 10^{-17}$ Вт.