Задание 5, страница 207 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 5

Определите частоты излучений водорода в серии Бальмера.

Дано:

Поскольку в задаче не приведены числовые данные, для решения используются фундаментальные физические константы и определение серии Бальмера.

Постоянная Ридберга: $R \approx 1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Серия Бальмера: переходы электрона в атоме водорода на энергетический уровень с главным квантовым числом $k=2$.

Перевод в систему СИ:

Все используемые константы уже представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Частоты излучений $\nu$ в серии Бальмера.

Решение:

Частоты $\nu$ спектральных линий, испускаемых атомом водорода при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой, определяются обобщенной формулой Бальмера (также известной как формула Ридберга):

$\nu = cR \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2} \right)$

В этой формуле:

$\text{c}$ — скорость света в вакууме,

$\text{R}$ — постоянная Ридберга,

$\text{k}$ — главное квантовое число энергетического уровня, на который переходит электрон,

$\text{n}$ — главное квантовое число уровня, с которого происходит переход ($n > k$).

Серия Бальмера описывает все переходы электронов на второй энергетический уровень ($k=2$) с любых вышележащих уровней ($n=3, 4, 5, \dots$). Спектральные линии этой серии лежат в видимой и ближней ультрафиолетовой областях спектра.

Подставим значение $k=2$ в общую формулу:

$\nu = cR \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) = cR \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right)$, где $n = 3, 4, 5, \dots$

Предварительно вычислим произведение $\text{cR}$, которое также называют частотой Ридберга:

$cR \approx (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (1.097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}) \approx 3.29 \cdot 10^{15} \text{ Гц}$

Теперь мы можем рассчитать частоты для первых нескольких линий серии Бальмера, подставляя соответствующие значения $\text{n}$.

1. Переход $n=3 \to k=2$ (линия $H_{\alpha}$):

Это первая и самая длинноволновая (наименьшей частоты) линия в серии, соответствующая красному цвету.

$\nu_{3\to2} = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{9-4}{36} \right) = 3.29 \cdot 10^{15} \cdot \frac{5}{36} \approx 4.57 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

2. Переход $n=4 \to k=2$ (линия $H_{\beta}$):

Эта линия имеет сине-зеленый цвет.

$\nu_{4\to2} = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{4-1}{16} \right) = 3.29 \cdot 10^{15} \cdot \frac{3}{16} \approx 6.17 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

3. Переход $n=5 \to k=2$ (линия $H_{\gamma}$):

Эта линия находится в фиолетовой части спектра.

$\nu_{5\to2} = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{25-4}{100} \right) = 3.29 \cdot 10^{15} \cdot \frac{21}{100} \approx 6.91 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

4. Граница серии ($n \to \infty$):

Максимальная возможная частота в серии соответствует переходу электрона с бесконечно удаленного уровня (ионизация). При $n \to \infty$, член $1/n^2$ стремится к нулю.

$\nu_{\infty\to2} = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{3.29 \cdot 10^{15}}{4} \approx 8.23 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Эта частота является границей серии Бальмера и лежит в ультрафиолетовой области.

Ответ:

Частоты излучений в серии Бальмера для атома водорода описываются общей формулой $\nu = 3.29 \cdot 10^{15} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right)$ Гц, где $\text{n}$ принимает целые значения, начиная с 3. Диапазон частот серии Бальмера составляет от $4.57 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$ до предельной частоты $8.23 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$.

Частоты первых линий серии:

- для перехода $3 \to 2$ (линия $H_{\alpha}$): $\nu \approx 4.57 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$;

- для перехода $4 \to 2$ (линия $H_{\beta}$): $\nu \approx 6.17 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$;

- для перехода $5 \to 2$ (линия $H_{\gamma}$): $\nu \approx 6.91 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$;

и так далее, сходясь к границе серии $\nu_{\infty\to2} \approx 8.23 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$.