Задание 3, страница 206 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

1. Используя правило квантования и второй закон Ньютона в применении к движущемуся электрону $\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, получите формулу расчета радиуса стационарных орбит электрона в атоме водорода.

2. Определите радиус первой стационарной орбиты, сравните полученный результат с радиусом, данным в справочной литературе: $\approx 53$ пм.

1. Для вывода формулы радиуса стационарной орбиты электрона в атоме водорода необходимо использовать два основных положения: второй закон Ньютона для движения по окружности и правило квантования Бора.

Шаг 1: Применение второго закона Ньютона.
Электрон вращается вокруг ядра (протона) под действием силы Кулона, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление:
$ma_{ц} = F_{кул}$
где $\text{m}$ — масса электрона, $a_{ц} = \frac{v^2}{r}$ — центростремительное ускорение, $F_{кул} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}$ — сила кулоновского притяжения между электроном и протоном (заряды обоих равны $\text{e}$ по модулю).
Подставив выражения, получаем уравнение, данное в условии:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ (1)

Шаг 2: Применение правила квантования.
Согласно первому постулату Бора, момент импульса электрона на стационарной орбите должен быть кратен приведенной постоянной Планка $\hbar$ (где $\hbar = h/2\pi$):
$L = mvr = n\hbar$, где $n = 1, 2, 3, \dots$ — главное квантовое число. (2)

Шаг 3: Решение системы уравнений.
Наша цель — найти $\text{r}$, исключив скорость $\text{v}$ из уравнений (1) и (2).
Из правила квантования (2) выразим скорость $\text{v}$:
$v = \frac{n\hbar}{mr}$
Подставим это выражение для скорости в уравнение (1). Для удобства сначала упростим уравнение (1), умножив обе части на $\text{r}$:
$mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$
Теперь подставляем выражение для $\text{v}$:
$m\left(\frac{n\hbar}{mr}\right)^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$
$m\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$
$\frac{n^2\hbar^2}{mr^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$
Сокращаем на $\text{r}$ в обеих частях (так как $r \ne 0$) и выражаем радиус $r_n$ для орбиты с номером $\text{n}$:
$\frac{n^2\hbar^2}{mr} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}$
$r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2}{me^2}$

Это и есть искомая формула для радиусов стационарных орбит электрона в атоме водорода.

Ответ: $r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{me^2} n^2$

2. Дано:

Для первой стационарной орбиты главное квантовое число $n=1$.
Справочные данные (в системе СИ):
Электрическая постоянная $\varepsilon_0 \approx 8.854 \cdot 10^{-12}$ Ф/м
Приведенная постоянная Планка $\hbar \approx 1.054 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Масса электрона $m_e \approx 9.109 \cdot 10^{-31}$ кг
Элементарный заряд $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Справочное значение радиуса $r_{спр} \approx 53 \text{ пм} = 53 \cdot 10^{-12}$ м

Найти:

Радиус первой стационарной орбиты $r_1$.

Решение:

Для нахождения радиуса первой стационарной орбиты ($n=1$) воспользуемся формулой, полученной в пункте 1:
$r_1 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 (1)^2}{m_e e^2} = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}$
Этот радиус также известен как Боровский радиус $a_0$.
Подставим числовые значения констант:
$r_1 = \frac{4 \cdot 3.14159 \cdot (8.854 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (1.054 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с})^2}{(9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}$
$r_1 \approx \frac{12.566 \cdot 8.854 \cdot 10^{-12} \cdot 1.111 \cdot 10^{-68}}{9.109 \cdot 10^{-31} \cdot 2.566 \cdot 10^{-38}}$ м
$r_1 \approx \frac{1.235 \cdot 10^{-78}}{2.338 \cdot 10^{-68}}$ м
$r_1 \approx 0.528 \cdot 10^{-10}$ м
$r_1 \approx 5.28 \cdot 10^{-11}$ м
Переведем результат в пикометры (1 пм = $10^{-12}$ м):
$r_1 \approx 52.8$ пм.

Теперь сравним полученный результат ($52.8$ пм) со справочным значением ($\approx 53$ пм).
Расчетное значение радиуса первой Боровской орбиты отлично согласуется со значением, приведенным в справочной литературе. Небольшое расхождение ($\approx 0.4\%$) объясняется округлением фундаментальных констант, используемых в расчетах.

Ответ: Расчетный радиус первой стационарной орбиты составляет $r_1 \approx 5.28 \cdot 10^{-11}$ м, или $52.8$ пм. Этот результат хорошо согласуется со справочным значением $\approx 53$ пм.