Задание 1, страница 204 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Оцените размер ядра золота с использованием формулы (1) и величин, характеризующих $\alpha$-частицу.

2. Во сколько раз размер ядра отличается от размера атома?

1. Оцените размер ядра золота с использованием формулы (1) и величин, характеризующих α-частицу.

Для решения этой задачи необходимо сделать предположение о том, что представляет собой "формула (1)". В контексте опытов Резерфорда по рассеянию α-частиц на золотой фольге, оценка размера ядра проводится на основе закона сохранения энергии. Предположим, что формула (1) и есть этот закон. Оценка размера ядра соответствует минимальному расстоянию, на которое α-частица может приблизиться к ядру при лобовом столкновении.

Дано:

Мишень – ядро золота ($^{197}_{79}Au$).

Снаряд – α-частица (ядро гелия $^4_2He$).

Зарядовое число золота: $Z = 79$.

Заряд α-частицы: $q_{\alpha} = 2e$.

Заряд ядра золота: $q_{Au} = Ze$.

Элементарный заряд: $e = 1.6 \times 10^{-19}$ Кл.

Электрическая постоянная (коэффициент в законе Кулона): $k = 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл².

Кинетическая энергия α-частицы (примем типичное значение для экспериментов Резерфорда): $E_k = 7.7$ МэВ.

Перевод в систему СИ:

Кинетическая энергия: $E_k = 7.7 \text{ МэВ} = 7.7 \times 10^6 \text{ эВ} = 7.7 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 1.232 \times 10^{-12} \text{ Дж}$.

Найти:

Размер ядра золота $R_{ядра}$.

Решение:

При лобовом столкновении α-частица летит прямо на ядро. По мере приближения к положительно заряженному ядру золота, α-частица замедляется из-за сил кулоновского отталкивания. В точке максимального сближения вся начальная кинетическая энергия α-частицы ($E_k$) переходит в потенциальную энергию электростатического взаимодействия ($E_p$).

Запишем закон сохранения энергии:

$E_k = E_p$

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов на расстоянии $\text{r}$ определяется как:

$E_p = k \frac{q_1 q_2}{r}$

В нашем случае, в точке максимального сближения ($r_{min}$):

$E_k = k \frac{q_{\alpha} q_{Au}}{r_{min}} = k \frac{(2e)(Ze)}{r_{min}}$

Минимальное расстояние сближения $r_{min}$ дает верхнюю оценку для радиуса ядра, так как α-частица останавливается, не обязательно достигая поверхности ядра. Примем размер ядра $R_{ядра}$ равным этому расстоянию: $R_{ядра} \approx r_{min}$.

Выразим $r_{min}$ из формулы:

$r_{min} = \frac{2kZe^2}{E_k}$

Подставим числовые значения:

$R_{ядра} \approx \frac{2 \cdot (9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot 79 \cdot (1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл})^2}{1.232 \times 10^{-12} \text{ Дж}}$

$R_{ядра} \approx \frac{18 \times 10^9 \cdot 79 \cdot 2.56 \times 10^{-38}}{1.232 \times 10^{-12}} \text{ м}$

$R_{ядра} \approx \frac{3639.68 \times 10^{-29}}{1.232 \times 10^{-12}} \text{ м} \approx 2954 \times 10^{-17} \text{ м} \approx 2.95 \times 10^{-14} \text{ м}$

Ответ: Оценочный размер ядра золота, полученный из анализа рассеяния α-частицы, составляет примерно $2.95 \times 10^{-14}$ м.

2. Во сколько раз размер ядра отличается от размера атома?

Дано:

Размер (радиус) ядра золота (из пункта 1): $R_{ядра} \approx 2.95 \times 10^{-14}$ м.

Размер (радиус) атома золота (справочное значение, металлический радиус): $R_{атома} \approx 144$ пм.

Перевод в систему СИ:

$R_{атома} = 144 \text{ пм} = 144 \times 10^{-12} \text{ м} = 1.44 \times 10^{-10} \text{ м}$.

Найти:

Отношение размеров $\frac{R_{атома}}{R_{ядра}}$.

Решение:

Чтобы найти, во сколько раз размер атома больше размера ядра, разделим радиус атома на радиус ядра:

$\frac{R_{атома}}{R_{ядра}} = \frac{1.44 \times 10^{-10} \text{ м}}{2.95 \times 10^{-14} \text{ м}}$

$\frac{R_{атома}}{R_{ядра}} \approx 0.488 \times 10^4 \approx 4880$

Таким образом, размер атома золота примерно в 4880 раз больше размера его ядра.

Ответ: Размер ядра золота примерно в 5000 раз меньше размера атома золота (результат округлен для наглядности).