Номер 5, страница 203 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5. Определите длину волны фотона, масса которого равна массе покоя:

1) электрона;

2) протона.

Дано:

Масса покоя электрона, $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг
Масса покоя протона, $m_p = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Постоянная Планка, $h = 6.63 \times 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света в вакууме, $c = 3 \times 10^8$ м/с
Масса, эквивалентная энергии фотона в первом случае, $m_{ф1} = m_e$
Масса, эквивалентная энергии фотона во втором случае, $m_{ф2} = m_p$

Найти:

1) Длину волны фотона $\lambda_e$
2) Длину волны фотона $\lambda_p$

Решение:

Хотя фотон является частицей с нулевой массой покоя, ему можно сопоставить релятивистскую массу $m_{ф}$ через знаменитую формулу Эйнштейна, связывающую массу и энергию:

$E = m_{ф}c^2$

С другой стороны, энергия фотона $\text{E}$ как квантовой частицы электромагнитного излучения определяется его длиной волны $\lambda$ согласно формуле Планка:

$E = \frac{hc}{\lambda}$

Приравнивая оба выражения для энергии, мы можем установить связь между массой, приписываемой фотону, и его длиной волны:

$m_{ф}c^2 = \frac{hc}{\lambda}$

Из этого уравнения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{m_{ф}c^2} = \frac{h}{m_{ф}c}$

Эта величина известна как Комптоновская длина волны для частицы с массой $m_{ф}$.

1) электрона

В первом случае, по условию задачи, масса, эквивалентная энергии фотона, равна массе покоя электрона: $m_{ф} = m_e$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\lambda_e = \frac{h}{m_e c}$

Подставим числовые значения констант и произведем расчет:

$\lambda_e = \frac{6.63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}} \approx \frac{6.63}{27.33} \times 10^{-34 - (-31) - 8} \text{ м} \approx 0.2426 \times 10^{-11} \text{ м}$

Округляя и приводя к стандартному виду, получаем:

$\lambda_e \approx 2.43 \times 10^{-12} \text{ м}$

Это значение соответствует рентгеновскому излучению (гамма-излучению).

Ответ: длина волны фотона равна примерно $2.43 \times 10^{-12}$ м.

2) протона

Во втором случае масса, эквивалентная энергии фотона, равна массе покоя протона: $m_{ф} = m_p$. Формула для расчета длины волны будет выглядеть так:

$\lambda_p = \frac{h}{m_p c}$

Подставим числовые значения:

$\lambda_p = \frac{6.63 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}}{1.67 \times 10^{-27} \text{ кг} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}} \approx \frac{6.63}{5.01} \times 10^{-34 - (-27) - 8} \text{ м} \approx 1.323 \times 10^{-15} \text{ м}$

Округляя, получаем:

$\lambda_p \approx 1.32 \times 10^{-15} \text{ м}$

Эта длина волны также относится к диапазону гамма-излучения и сопоставима с размерами атомного ядра.

Ответ: длина волны фотона равна примерно $1.32 \times 10^{-15}$ м.