Задание 2, страница 30 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Определите мгновенные значения напряжения, изменяющегося по закону $u = 308\cos(100\pi t)$ через промежутки времени, равные $t_1 = 0.25 \text{ с}$ и $t_2 = 1 \text{ с}$ после начала колебаний.

Чему равно максимальное значение напряжения? В какие моменты времени напряжение достигает максимального значения?

Дано:

Закон изменения напряжения: $u(t) = 308\cos(100\pi t)$

Момент времени $t_1 = 0,25$ с

Момент времени $t_2 = 1$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$u_1, u_2$ - мгновенные значения напряжения в моменты времени $t_1$ и $t_2$

$U_{max}$ - максимальное значение напряжения

$t_{max}$ - моменты времени, когда напряжение достигает максимального значения

Решение:

Определите мгновенные значения напряжения, изменяющегося по закону u = 308cos(100πt) через промежутки времени, равные t₁ = 0,25 с и t₂ = 1 с после начала колебаний.

Для нахождения мгновенного значения напряжения в определенный момент времени, нужно подставить значение этого времени в исходное уравнение.

1. Найдем напряжение в момент времени $t_1 = 0,25$ с:

$u_1 = 308\cos(100\pi \cdot 0,25) = 308\cos(25\pi)$

Функция косинуса для аргументов, кратных $\pi$, принимает значения 1 (для четных кратных) или -1 (для нечетных кратных). Так как 25 - нечетное число, то $\cos(25\pi) = -1$.

$u_1 = 308 \cdot (-1) = -308$ В.

2. Найдем напряжение в момент времени $t_2 = 1$ с:

$u_2 = 308\cos(100\pi \cdot 1) = 308\cos(100\pi)$

Так как 100 - четное число, то $\cos(100\pi) = 1$.

$u_2 = 308 \cdot 1 = 308$ В.

Ответ: Мгновенные значения напряжения равны $u_1 = -308$ В при $t_1 = 0,25$ с и $u_2 = 308$ В при $t_2 = 1$ с.

Чему равно максимальное значение напряжения?

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — это амплитуда, или максимальное значение колеблющейся величины.

В нашем случае уравнение для напряжения $u(t) = 308\cos(100\pi t)$. Сравнивая его с общим видом, мы видим, что амплитудное (максимальное) значение напряжения $U_{max}$ равно коэффициенту перед функцией косинуса.

$U_{max} = 308$ В.

Ответ: Максимальное значение напряжения равно 308 В.

В какие моменты времени напряжение достигает максимального значения?

Напряжение достигает своего максимального значения, когда значение функции косинуса в уравнении равно 1.

$\cos(100\pi t) = 1$

Это равенство справедливо, когда аргумент косинуса равен $2\pi k$, где $\text{k}$ — любое целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, 3, ...$), поскольку время не может быть отрицательным.

$100\pi t = 2\pi k$

Выразим время $\text{t}$ из этого уравнения:

$t = \frac{2\pi k}{100\pi} = \frac{k}{50}$

Таким образом, напряжение будет максимальным в моменты времени, определяемые этой формулой, например, при $k=0 \rightarrow t=0$ с; при $k=1 \rightarrow t=1/50 = 0,02$ с; при $k=2 \rightarrow t=2/50 = 0,04$ с и так далее.

Ответ: Напряжение достигает максимального значения в моменты времени $t = \frac{k}{50}$ с, где $k = 0, 1, 2, ...$