Номер 1, страница 118 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. При облучении графита рентгеновскими лучами длина волны излучения, рассеянного под углом $45^\circ$, оказалась равной $\lambda' = 10,7 \text{ пм}$. Определите длину волны падающих лучей.

Дано:

Угол рассеяния, $ \theta = 45^\circ $

Длина волны рассеянного излучения, $ \lambda' = 10,7 \text{ пм} $

Постоянная Планка, $ h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $

Масса покоя электрона, $ m_e \approx 9,109 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Перевод в систему СИ:

$ \lambda' = 10,7 \cdot 10^{-12} \text{ м} $

Найти:

Длину волны падающих лучей, $ \lambda $

Решение:

Данное явление описывается эффектом Комптона — упругим рассеянием фотонов на свободных электронах, при котором изменяется длина волны фотона. Изменение длины волны $ \Delta\lambda $ определяется формулой Комптона:

$ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos\theta) $

где $ \lambda $ – длина волны падающего фотона, $ \lambda' $ – длина волны рассеянного фотона, $ \theta $ – угол рассеяния, а $ \lambda_c $ – комптоновская длина волны электрона.

Комптоновская длина волны $ \lambda_c $ является фундаментальной физической константой и вычисляется по формуле:

$ \lambda_c = \frac{h}{m_e c} $

Подставим значения констант для вычисления $ \lambda_c $:

$ \lambda_c = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{9,109 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 2,426 \cdot 10^{-12} \text{ м} $

Для удобства вычислений переведем это значение в пикометры (пм):

$ \lambda_c \approx 2,426 \text{ пм} $

Теперь из формулы Комптона выразим искомую длину волны падающих лучей $ \lambda $:

$ \lambda = \lambda' - \lambda_c (1 - \cos\theta) $

Подставим в эту формулу известные из условия значения:

$ \lambda' = 10,7 \text{ пм} $

$ \theta = 45^\circ $

Значение косинуса угла $ 45^\circ $ равно:

$ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071 $

Теперь проведем окончательные вычисления:

$ \lambda = 10,7 \text{ пм} - 2,426 \text{ пм} \cdot (1 - 0,7071) $

$ \lambda = 10,7 \text{ пм} - 2,426 \text{ пм} \cdot 0,2929 $

$ \lambda = 10,7 \text{ пм} - 0,7107 \text{ пм} $

$ \lambda \approx 9,9893 \text{ пм} $

Округлим полученный результат до десятых, чтобы соответствовать точности исходных данных ($ \lambda' = 10,7 \text{ пм} $).

$ \lambda \approx 10,0 \text{ пм} $

Ответ: длина волны падающих лучей составляет $ 10,0 \text{ пм} $.