Номер 5.80, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.80. В конус высотой 8 см и радиусом 6 см вписан ряд шаров. Первый шар касается основания и боковой поверхности конуса, а следующий шар касается предыдущего шара и боковой поверхности конуса и т.д. Чему равен предел суммы объемов этих шаров, если их количество бесконечно?

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанных в него шаров. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с высотой $H = 8$ см и основанием, равным двум радиусам, то есть $2R = 12$ см. Сечения шаров представляют собой окружности, вписанные в угол, образованный образующими конуса.

Найдем длину образующей конуса $L$ по теореме Пифагора: $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см. Пусть $\alpha$ — это половина угла при вершине осевого сечения конуса. Синус этого угла можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса: $\sin(\alpha) = \frac{R}{L} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Пусть $r_1$ — радиус первого шара, который касается основания и боковой поверхности конуса. Его центр лежит на оси конуса. Расстояние от центра этого шара до основания равно $r_1$. Расстояние от вершины конуса до центра этого шара равно $H - r_1 = 8 - r_1$. В то же время, из геометрии сечения видно, что $\sin(\alpha) = \frac{r_1}{H - r_1}$. Подставим известные значения: $\frac{3}{5} = \frac{r_1}{8 - r_1}$ $3(8 - r_1) = 5r_1$ $24 - 3r_1 = 5r_1$ $8r_1 = 24$ $r_1 = 3$ см.

Рассмотрим два соседних шара с радиусами $r_n$ и $r_{n+1}$ (где $r_n > r_{n+1}$). Их центры лежат на оси конуса. Расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, $r_n + r_{n+1}$. Пусть $d_n$ и $d_{n+1}$ — расстояния от вершины конуса до центров этих шаров. Для любого шара с радиусом $r_k$ и расстоянием $d_k$ от вершины до центра справедливо соотношение $\sin(\alpha) = \frac{r_k}{d_k}$, откуда $d_k = \frac{r_k}{\sin(\alpha)}$. Расстояние между центрами также можно выразить как $d_n - d_{n+1}$. Приравниваем выражения для расстояния между центрами: $r_n + r_{n+1} = d_n - d_{n+1} = \frac{r_n}{\sin(\alpha)} - \frac{r_{n+1}}{\sin(\alpha)} = \frac{r_n - r_{n+1}}{\sin(\alpha)}$ $(r_n + r_{n+1})\sin(\alpha) = r_n - r_{n+1}$ $r_{n+1}(1 + \sin(\alpha)) = r_n(1 - \sin(\alpha))$ $\frac{r_{n+1}}{r_n} = \frac{1 - \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$ Это соотношение показывает, что радиусы шаров образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Найдем ее знаменатель $q$: $q = \frac{1 - 3/5}{1 + 3/5} = \frac{2/5}{8/5} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Нам нужно найти предел суммы объемов этих шаров, что эквивалентно нахождению суммы объемов бесконечного ряда шаров. Объем $n$-го шара равен $V_n = \frac{4}{3}\pi r_n^3$. Сумма объемов $S_V$ равна: $S_V = \sum_{n=1}^{\infty} V_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3}\pi r_n^3 = \frac{4}{3}\pi \sum_{n=1}^{\infty} r_n^3$. Последовательность кубов радиусов $r_n^3$ также является геометрической прогрессией с первым членом $r_1^3$ и знаменателем $q^3$. Первый член этой новой прогрессии: $r_1^3 = 3^3 = 27$. Знаменатель: $q^3 = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{a_1}{1-q'}$, где $a_1$ — первый член, а $q'$ — знаменатель. $\sum_{n=1}^{\infty} r_n^3 = \frac{r_1^3}{1 - q^3} = \frac{27}{1 - 1/64} = \frac{27}{63/64} = \frac{27 \cdot 64}{63} = \frac{3 \cdot 64}{7} = \frac{192}{7}$. Теперь найдем искомую сумму объемов: $S_V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{192}{7} = \frac{4\pi \cdot 64}{7} = \frac{256\pi}{7}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{256\pi}{7}$ см$^3$.