Номер 5.78, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.78. Найдите отношение объемов трех шаров, которые касаются всех граней куба, всех ребер куба и проходят через все вершины этого куба.

Для решения задачи рассмотрим куб с ребром, длина которого равна $a$. Все три шара будут иметь общий центр, совпадающий с центром куба. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Таким образом, отношение объемов шаров будет равно отношению кубов их радиусов.

Шар, касающийся всех граней куба

Этот шар является вписанным в куб. Его диаметр равен длине ребра куба $a$. Следовательно, радиус этого шара, обозначим его $R_1$, равен половине ребра куба.

$R_1 = \frac{a}{2}$

Объем этого шара $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6}$.

Шар, касающийся всех ребер куба

Этот шар касается каждого из 12 ребер куба в их серединах. Радиус этого шара, $R_2$, равен расстоянию от центра куба до середины любого его ребра. Это расстояние можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катеты которого — это расстояние от центра куба до центра грани ($a/2$) и расстояние от центра грани до середины ребра на этой грани ($a/2$).

По теореме Пифагора:

$R_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

$R_2 = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Объем этого шара $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 2\sqrt{2}}{8} = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{3}$.

Шар, проходящий через все вершины куба

Этот шар является описанным около куба. Его радиус, $R_3$, равен расстоянию от центра куба до любой из его вершин. Это расстояние равно половине большой диагонали куба. Длина большой диагонали куба $d$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Следовательно, радиус третьего шара:

$R_3 = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Объем этого шара $V_3 = \frac{4}{3}\pi R_3^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 3\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$.

Нахождение отношения объемов

Нам нужно найти отношение $V_1 : V_2 : V_3$.

$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{\pi a^3}{6} : \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{3} : \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$

Сократим общий множитель $\pi a^3$:

$\frac{1}{6} : \frac{\sqrt{2}}{3} : \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для избавления от дробей умножим все части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (6, 3 и 2), которое равно 6:

$6 \cdot \frac{1}{6} : 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} : 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$1 : 2\sqrt{2} : 3\sqrt{3}$

Альтернативно, можно было найти отношение радиусов $R_1 : R_2 : R_3$:

$\frac{a}{2} : \frac{a\sqrt{2}}{2} : \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Сократив на $\frac{a}{2}$, получим $1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}$.

Так как $V \propto R^3$, отношение объемов равно $1^3 : (\sqrt{2})^3 : (\sqrt{3})^3$, что также дает $1 : 2\sqrt{2} : 3\sqrt{3}$.

Ответ: $1 : 2\sqrt{2} : 3\sqrt{3}$.