Номер 5.72, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.72. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан другой цилиндр. Найдите отношение объемов этих цилиндров.

Обозначим объем первого, большего цилиндра, в который вписана призма, как $V_1$, а его радиус как $R_1$. Обозначим объем второго, меньшего цилиндра, который вписан в призму, как $V_2$, а его радиус как $R_2$.

Так как правильная треугольная призма вписана в первый цилиндр, а второй цилиндр вписан в эту призму, высота $H$ у обоих цилиндров и у призмы одинакова.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Тогда объемы наших цилиндров равны:

$V_1 = \pi R_1^2 H$

$V_2 = \pi R_2^2 H$

Найдем отношение их объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R_1^2 H}{\pi R_2^2 H} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$

Таким образом, задача сводится к нахождению отношения радиусов оснований этих цилиндров.

Рассмотрим поперечное сечение, перпендикулярное высоте. В сечении мы увидим основание первого цилиндра (большой круг), в который вписано основание призмы (правильный треугольник), в который, в свою очередь, вписано основание второго цилиндра (малый круг).

Радиус $R_1$ является радиусом окружности, описанной около правильного треугольника, который служит основанием призмы.

Радиус $R_2$ является радиусом окружности, вписанной в этот же правильный треугольник.

Пусть сторона этого правильного треугольника равна $a$. Тогда радиус описанной окружности $R_1$ и радиус вписанной окружности $R_2$ можно выразить через сторону $a$:

$R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$

$R_2 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Теперь найдем отношение радиусов $R_1$ и $R_2$:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{a} = 2$

Это известное свойство правильного треугольника: радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности.

Подставим найденное отношение радиусов в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = (2)^2 = 4$

Отношение объема большего цилиндра к объему меньшего цилиндра равно 4.

Ответ: 4.