Номер 5.67, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.67. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а высота - 4 м. Найдите образующую усеченного конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями трапеции служат диаметры оснований конуса, боковые стороны равны образующей конуса, а высота трапеции равна высоте конуса.

Пусть $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, $h$ — высота усеченного конуса, и $l$ — его образующая. По условию задачи нам даны следующие значения:

Радиус большего основания: $R = 6$ м.

Радиус меньшего основания: $r = 3$ м.

Высота: $h = 4$ м.

Для нахождения образующей $l$ можно использовать прямоугольный треугольник, который образуется высотой $h$, образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и отрезком на большем основании, равным разности радиусов $(R - r)$ (в качестве второго катета).

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к нашей задаче формула выглядит так:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Найдем разность радиусов оснований:

$R - r = 6 \text{ м} - 3 \text{ м} = 3 \text{ м}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$l^2 = 4^2 + 3^2$

$l^2 = 16 + 9$

$l^2 = 25$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину образующей $l$:

$l = \sqrt{25}$

$l = 5$ м

Ответ: 5 м.