Номер 5.69, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.69. Площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого равны $\text{r}$ и $\text{R}$, равна $\text{S}$. Найдите площадь боковой поверхности полного конуса.

Усеченный конус получается из полного конуса путем отсечения от него меньшего конуса плоскостью, параллельной основанию. Обозначим искомую площадь боковой поверхности полного конуса как $S_{полн}$, а площадь боковой поверхности малого конуса, который был отсечен, как $S_{мал}$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S$ равна разности площадей боковых поверхностей полного и малого конусов: $S = S_{полн} - S_{мал}$

Полный конус и малый конус являются подобными телами. Коэффициент подобия можно найти как отношение их соответствующих линейных размеров, например, радиусов оснований. Пусть радиус основания полного конуса равен $R$, а малого конуса — $r$.

Отношение площадей подобных тел равно квадрату коэффициента подобия их линейных размеров. Следовательно, отношение площади боковой поверхности малого конуса к площади боковой поверхности полного конуса равно: $\frac{S_{мал}}{S_{полн}} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 = \frac{r^2}{R^2}$

Из этого соотношения выразим площадь боковой поверхности малого конуса через площадь полного конуса: $S_{мал} = S_{полн} \cdot \frac{r^2}{R^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади усеченного конуса: $S = S_{полн} - S_{полн} \cdot \frac{r^2}{R^2}$

Вынесем $S_{полн}$ за скобки: $S = S_{полн} \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)$

Упростим выражение в скобках: $S = S_{полн} \left(\frac{R^2 - r^2}{R^2}\right)$

Наконец, выразим из этого уравнения искомую площадь боковой поверхности полного конуса $S_{полн}$: $S_{полн} = S \cdot \frac{R^2}{R^2 - r^2}$

Ответ: Площадь боковой поверхности полного конуса равна $S \frac{R^2}{R^2 - r^2}$.