Номер 5.70, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.70. Отношение радиусов оснований и образующей усеченного конуса равно $1:4:5$, а его высота - 8 м. Найдите объем усеченного конуса.

Обозначим радиус меньшего основания усеченного конуса как $r$, радиус большего основания как $R$ и образующую как $l$. Высота конуса дана и равна $h = 8$ м.

Согласно условию задачи, отношение радиусов оснований и образующей равно $r : R : l = 1 : 4 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $k$, тогда мы можем записать:

$r = k$

$R = 4k$

$l = 5k$

Связь между высотой, образующей и радиусами оснований усеченного конуса можно найти, рассмотрев его осевое сечение, которое является равнобедренной трапецией. Проведя высоту из вершины меньшего основания к большему, получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов $R - r$, а гипотенузой — образующая $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Подставим в это уравнение выражения через коэффициент $k$ и известное значение высоты $h = 8$:

$(5k)^2 = 8^2 + (4k - k)^2$

$25k^2 = 64 + (3k)^2$

$25k^2 = 64 + 9k^2$

$25k^2 - 9k^2 = 64$

$16k^2 = 64$

$k^2 = \frac{64}{16}$

$k^2 = 4$

Поскольку радиус является положительной величиной, $k = 2$.

Теперь можем найти числовые значения радиусов оснований:

$r = k = 2$ м

$R = 4k = 4 \times 2 = 8$ м

Формула для вычисления объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения радиусов и заданную высоту в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (8^2 + 8 \times 2 + 2^2)$

$V = \frac{8\pi}{3} (64 + 16 + 4)$

$V = \frac{8\pi}{3} \times 84$

$V = 8\pi \times \frac{84}{3}$

$V = 8\pi \times 28$

$V = 224\pi$ м$^3$

Ответ: $224\pi$ м$^3$.