Номер 5.65, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.65. Найдите радиус шара, объем которого равен среднему арифметическому объемов шаров радиусами 3 м, 4 м и 5 м.

Для решения задачи необходимо найти объем искомого шара, который, по условию, равен среднему арифметическому объемов трех других шаров. Затем, зная объем, мы сможем вычислить его радиус.

Формула объема шара с радиусом $R$ имеет вид: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Пусть радиусы трех данных шаров равны $R_1 = 3$ м, $R_2 = 4$ м и $R_3 = 5$ м. Их объемы соответственно равны $V_1$, $V_2$ и $V_3$.

Среднее арифметическое их объемов $V_{ср}$ вычисляется следующим образом:

$V_{ср} = \frac{V_1 + V_2 + V_3}{3} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 + \frac{4}{3}\pi R_3^3}{3}$.

Для удобства вычислений вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобку:

$V_{ср} = \frac{\frac{4}{3}\pi(R_1^3 + R_2^3 + R_3^3)}{3} = \frac{4\pi}{9}(R_1^3 + R_2^3 + R_3^3)$.

Теперь подставим числовые значения радиусов:

$V_{ср} = \frac{4\pi}{9}(3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4\pi}{9}(27 + 64 + 125) = \frac{4\pi}{9}(216)$.

Сократим дробь, зная, что $216 : 9 = 24$:

$V_{ср} = 4\pi \cdot 24 = 96\pi$ м³.

Объем искомого шара $V$ равен $V_{ср}$. Пусть его радиус равен $R_{иск}$. Тогда:

$V = \frac{4}{3}\pi R_{иск}^3 = 96\pi$.

Чтобы найти $R_{иск}$, решим это уравнение. Разделим обе части на $\pi$:

$\frac{4}{3}R_{иск}^3 = 96$.

Выразим $R_{иск}^3$:

$R_{иск}^3 = 96 \cdot \frac{3}{4} = 24 \cdot 3 = 72$.

Извлечем кубический корень из обеих частей, чтобы найти радиус:

$R_{иск} = \sqrt[3]{72}$.

Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 9$.

$R_{иск} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 9} = \sqrt[3]{2^3}\sqrt[3]{9} = 2\sqrt[3]{9}$ м.

Ответ: $2\sqrt[3]{9}$ м.