Номер 5.58, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.58. Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 14 см, 48 см и 8 см.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Диагональное сечение — это прямоугольник, проходящий через два противолежащих боковых ребра. Одна сторона этого прямоугольника равна боковому ребру (высоте), а другая — диагонали основания.

В задаче даны три измерения: 14 см, 48 см и 8 см. Поскольку не указано, какое из них считать высотой, а какие — сторонами основания, существует три возможных варианта для площади диагонального сечения. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: Высота параллелепипеда равна 8 см.

В этом случае стороны основания равны 14 см и 48 см. Диагональное сечение — это прямоугольник со сторонами, равными высоте параллелепипеда ($h=8$ см) и диагонали его основания ($d_1$). Найдем диагональ основания $d_1$ по теореме Пифагора:

$d_1 = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50$ см.

Площадь диагонального сечения $S_1$ равна произведению диагонали основания на высоту:

$S_1 = d_1 \cdot h = 50 \cdot 8 = 400$ см².

Ответ: 400 см².

Случай 2: Высота параллелепипеда равна 14 см.

В этом случае стороны основания равны 8 см и 48 см. Диагональное сечение — это прямоугольник со сторонами, равными высоте ($h=14$ см) и диагонали основания ($d_2$). Найдем диагональ основания $d_2$ по теореме Пифагора:

$d_2 = \sqrt{8^2 + 48^2} = \sqrt{64 + 2304} = \sqrt{2368}$ см.

Упростим корень: $2368 = 64 \cdot 37$, поэтому $d_2 = \sqrt{64 \cdot 37} = 8\sqrt{37}$ см.

Площадь диагонального сечения $S_2$ равна:

$S_2 = d_2 \cdot h = 8\sqrt{37} \cdot 14 = 112\sqrt{37}$ см².

Ответ: $112\sqrt{37}$ см².

Случай 3: Высота параллелепипеда равна 48 см.

В этом случае стороны основания равны 8 см и 14 см. Диагональное сечение — это прямоугольник со сторонами, равными высоте ($h=48$ см) и диагонали основания ($d_3$). Найдем диагональ основания $d_3$ по теореме Пифагора:

$d_3 = \sqrt{8^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260}$ см.

Упростим корень: $260 = 4 \cdot 65$, поэтому $d_3 = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}$ см.

Площадь диагонального сечения $S_3$ равна:

$S_3 = d_3 \cdot h = 2\sqrt{65} \cdot 48 = 96\sqrt{65}$ см².

Ответ: $96\sqrt{65}$ см².