Номер 5.53, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.53. Даны векторы $\bar{a}$, $\bar{b}$ и $\bar{c}$ такие, что $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = 0$, $|\bar{a}| = 1$, $|\bar{b}| = 4$ и $|\bar{c}| = 5$. Найдите величину выражения $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}$.

Согласно условию задачи, сумма векторов равна нулевому вектору: $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$.

Для нахождения искомого выражения возведем это векторное равенство в скалярный квадрат. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, а скалярный квадрат нулевого вектора равен нулю.

$(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = |\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{0}|^2 = 0$.

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, а также то, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\bar{x} \cdot \bar{x} = |\bar{x}|^2$) и скалярное произведение коммутативно ($\bar{x} \cdot \bar{y} = \bar{y} \cdot \bar{x}$):

$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.

Подставим в полученное уравнение заданные значения модулей векторов: $|\bar{a}| = 1, |\bar{b}| = 4$ и $|\bar{c}| = 5$.

$1^2 + 4^2 + 5^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$

$1 + 16 + 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$

$42 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$

Теперь выразим искомую величину:

$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = -42$

$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = \frac{-42}{2} = -21$

Ответ: -21