Номер 5.49, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.49. Отрезок длиной 10 дм пересекает плоскость, а его концы удалены от нее на расстояние 5 дм и 3 дм. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.

Решение:

Пусть дан отрезок $AB$ длиной $L = 10$ дм, который пересекает плоскость $\alpha$. Пусть $A'$ и $B'$ — это ортогональные проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. Расстояния от концов отрезка до плоскости равны $h_1 = 5$ дм и $h_2 = 3$ дм. Мы ищем длину проекции отрезка на плоскость, то есть длину отрезка $A'B'$.

Рассмотрим пространственную конструкцию. Длина проекции $A'B'$, сам отрезок $AB$ и перпендикуляр, опущенный из одного конца отрезка на прямую, проходящую через другой конец параллельно проекции, образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:

• Гипотенузой является сам отрезок $AB$, его длина $L = 10$ дм.
• Одним катетом является проекция отрезка $A'B'$, длину которой, обозначим как $p$, нам нужно найти.
• Другим катетом является "вертикальное" расстояние между концами отрезка $A$ и $B$. Поскольку отрезок пересекает плоскость, его концы находятся по разные стороны от нее. Следовательно, общее вертикальное расстояние между ними равно сумме их расстояний до плоскости. Обозначим этот катет как $h$.

Вычислим длину катета $h$: $h = h_1 + h_2 = 5 \text{ дм} + 3 \text{ дм} = 8 \text{ дм}$.

Теперь, по теореме Пифагора, для нашего прямоугольного треугольника справедливо соотношение: $L^2 = p^2 + h^2$

Выразим из этой формулы длину проекции $p$: $p^2 = L^2 - h^2$

Подставим известные значения: $p^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$p = \sqrt{36} = 6$ дм.

Таким образом, длина проекции отрезка на плоскость составляет 6 дм.

Ответ: 6 дм.