Номер 5.55, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.55. Боковая грань призмы есть квадрат, основание – правильный треугольник. Радиус описанной около этого треугольника окружности равен 6 см. Найдите объем призмы.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Найдем его сторону $a$. Радиус $R$ описанной около правильного треугольника окружности связан с его стороной $a$ формулой: $a = R\sqrt{3}$.

По условию, радиус описанной окружности $R = 6$ см. Тогда сторона основания равна: $a = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как боковая грань призмы является квадратом, это означает, что призма прямая (боковые ребра перпендикулярны основанию), и ее высота $h$ равна стороне основания $a$. Таким образом: $h = a = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим найденное значение $a$: $S_{осн} = \frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Наконец, вычислим объем призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема: $V = S_{осн} \cdot h = 27\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 27 \cdot 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 162 \cdot 3 = 486 \text{ см}^3$.

Ответ: $486 \text{ см}^3$.