Номер 5.52, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.52. В прямой призме $ABC A_1 B_1 C_1$ дано: $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle CAB = 60^\circ$, $AB = 2$ см, $AA_1 = 2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь:

1) полной поверхности;

2) сечения $A_1BC$ призмы.

1) полной поверхности

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ - площадь основания.

В основании призмы лежит прямоугольный треугольник $ABC$, так как по условию $\angle ABC = 90^\circ$. Найдем его стороны, периметр и площадь.

Дано: катет $AB = 2$ см и прилежащий к нему угол $\angle CAB = 60^\circ$.

Найдем второй катет $BC$ и гипотенузу $AC$:

$BC = AB \cdot \tan(\angle CAB) = 2 \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3}$ см.

$AC = \frac{AB}{\cos(\angle CAB)} = \frac{2}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{0.5} = 4$ см.

Теперь можем найти площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $h$ - высота призмы.

Периметр основания $P_{осн} = AB + BC + AC = 2 + 2\sqrt{3} + 4 = 6 + 2\sqrt{3}$ см.

Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра $AA_1$, то есть $h = AA_1 = 2\sqrt{3}$ см.

Тогда площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = (6 + 2\sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 12\sqrt{3} + 12$ см$^2$.

Наконец, найдем площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = (12\sqrt{3} + 12) + 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} + 12 + 4\sqrt{3} = 12 + 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $12 + 16\sqrt{3}$ см$^2$.

2) сечения A₁BC призмы

Сечение $A_1BC$ представляет собой треугольник. Чтобы найти его площадь, определим его тип и найдем длины его сторон.

Сторона $BC$ нам известна из пункта 1: $BC = 2\sqrt{3}$ см.

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$. Это означает, что треугольник $A_1AB$ является прямоугольным.

По теореме Пифагора для $\triangle A_1AB$:

$A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16$.

$A_1B = \sqrt{16} = 4$ см.

Для определения типа треугольника $A_1BC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. $AA_1$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, $A_1B$ - наклонная, $AB$ - ее проекция на плоскость $ABC$. По условию, проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$ ($\angle ABC = 90^\circ$), лежащей в этой плоскости. Следовательно, и сама наклонная $A_1B$ перпендикулярна прямой $BC$. Таким образом, $\angle A_1BC = 90^\circ$, и сечение $A_1BC$ является прямоугольным треугольником с катетами $A_1B$ и $BC$.

Площадь прямоугольного треугольника $A_1BC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot A_1B \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см$^2$.