Номер 5.48, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.48. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 м и 17 м, а разность их проекций равна 9 м. Найдите их проекции.

Пусть $l_1 = 17$ м и $l_2 = 10$ м — длины данных наклонных. Пусть $p_1$ и $p_2$ — длины их проекций на плоскость. Обозначим через $h$ расстояние от данной точки до плоскости (длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость).

Наклонная, ее проекция и перпендикуляр к плоскости образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами. По теореме Пифагора можно записать два равенства:

$l_1^2 = h^2 + p_1^2$

$l_2^2 = h^2 + p_2^2$

Подставим известные значения длин наклонных:

$\begin{cases} 17^2 = h^2 + p_1^2 \\ 10^2 = h^2 + p_2^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 289 = h^2 + p_1^2 \\ 100 = h^2 + p_2^2 \end{cases}$

Также по условию задачи разность проекций равна 9 м. Будем считать, что большей наклонной соответствует большая проекция, тогда $p_1 - p_2 = 9$.

Выразим $h^2$ из обоих уравнений системы:

$h^2 = 289 - p_1^2$

$h^2 = 100 - p_2^2$

Поскольку левые части равны, можем приравнять и правые:

$289 - p_1^2 = 100 - p_2^2$

Сгруппируем переменные и числа:

$p_1^2 - p_2^2 = 289 - 100$

$p_1^2 - p_2^2 = 189$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(p_1 - p_2)(p_1 + p_2) = 189$

Подставим известное значение разности $p_1 - p_2 = 9$:

$9 \cdot (p_1 + p_2) = 189$

Найдем сумму проекций:

$p_1 + p_2 = \frac{189}{9}$

$p_1 + p_2 = 21$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения $p_1$ и $p_2$:

$\begin{cases} p_1 - p_2 = 9 \\ p_1 + p_2 = 21 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(p_1 - p_2) + (p_1 + p_2) = 9 + 21$

$2p_1 = 30$

$p_1 = 15$ м

Теперь найдем $p_2$, подставив значение $p_1$ в любое из уравнений, например, во второе:

$15 + p_2 = 21$

$p_2 = 21 - 15$

$p_2 = 6$ м

Таким образом, длины проекций равны 15 м и 6 м.

Ответ: 15 м и 6 м.