Номер 5.41, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.41. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $\text{AB}$ треугольника $ABC$, пересекает другие его стороны в точках $A_1$ и $B_1$. Найдите $A_1C$, если $AC=15$ см, $A_1B_1=4$ см, $AB=20$ см.

Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$ и пересекает его другие стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, то линия пересечения $A_1B_1$ параллельна стороне $AB$. Таким образом, $A_1B_1 \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle CA_1B_1$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольник $\triangle A_1B_1C$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответственных сторон равны:

$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Для нахождения $A_1C$ воспользуемся частью этой пропорции:

$\frac{A_1C}{AC} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Подставим известные значения из условия задачи: $AC = 15$ см, $A_1B_1 = 4$ см, $AB = 20$ см.

$\frac{A_1C}{15} = \frac{4}{20}$

Упростим дробь в правой части уравнения:

$\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Теперь уравнение принимает вид:

$\frac{A_1C}{15} = \frac{1}{5}$

Выразим искомую величину $A_1C$:

$A_1C = 15 \cdot \frac{1}{5} = \frac{15}{5} = 3$ см.

Ответ: 3 см.