Номер 5.44, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.44. При каких значениях $\text{m}$ выполняется равенство $\left|\vec{AB}\right| = 4\sqrt{3}$ ? Здесь $A(4; m; 1)$, $B(8; 5; 5)$.

Для решения задачи необходимо найти координаты вектора $\vec{AB}$, затем найти его длину (модуль) и приравнять её к заданному значению $4\sqrt{3}$.

1. Находим координаты вектора $\vec{AB}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала. Для точек $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$.

В нашем случае $A(4; m; 1)$ и $B(8; 5; 5)$, поэтому:

$\vec{AB} = (8 - 4; 5 - m; 5 - 1) = (4; 5 - m; 4)$

2. Находим длину (модуль) вектора $|\vec{AB}|$.

Длина вектора с координатами $(a_x; a_y; a_z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Подставляем координаты вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (5-m)^2 + 4^2}$

Упрощаем выражение:

$|\vec{AB}| = \sqrt{16 + (5-m)^2 + 16} = \sqrt{32 + (5-m)^2}$

3. Составляем и решаем уравнение.

По условию задачи $|\vec{AB}| = 4\sqrt{3}$. Приравняем полученное выражение для длины вектора к этому значению:

$\sqrt{32 + (5-m)^2} = 4\sqrt{3}$

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{32 + (5-m)^2})^2 = (4\sqrt{3})^2$

$32 + (5-m)^2 = 16 \cdot 3$

$32 + (5-m)^2 = 48$

Выражаем скобку с неизвестной m:

$(5-m)^2 = 48 - 32$

$(5-m)^2 = 16$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Это дает два возможных случая:

$5-m = 4$ или $5-m = -4$

Решаем каждое уравнение:

Случай 1:

$5 - m = 4$

$-m = 4 - 5$

$-m = -1$

$m_1 = 1$

Случай 2:

$5 - m = -4$

$-m = -4 - 5$

$-m = -9$

$m_2 = 9$

Таким образом, равенство выполняется при двух значениях m: 1 и 9.

Ответ: $m=1$ или $m=9$.