Номер 5.42, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.42. Точка, находящаяся на расстоянии 3 см от плоскости квадрата, равноудалена от всех его сторон. Найдите сумму расстояний от этой точки до всех вершин квадрата, если его сторона равна 4 см.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a = 4$ см, лежащий в плоскости $\alpha$. Пусть $M$ — точка, находящаяся на расстоянии 3 см от этой плоскости.

Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MO$ на плоскость квадрата $\alpha$. Длина этого перпендикуляра по условию равна $MO = h = 3$ см. Точка $O$ является проекцией точки $M$ на плоскость квадрата.

По условию, точка $M$ равноудалена от всех сторон квадрата. Это означает, что расстояния от $M$ до прямых, содержащих стороны квадрата, равны. Эти расстояния являются длинами наклонных, проведенных из точки $M$ перпендикулярно к сторонам квадрата. Так как длины этих наклонных равны, то равны и их проекции на плоскость $\alpha$. Проекции этих наклонных — это перпендикуляры, опущенные из точки $O$ на стороны квадрата.

Точка в плоскости квадрата, равноудаленная от всех его сторон, является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей). Таким образом, проекция $O$ точки $M$ на плоскость квадрата является его центром.

Требуется найти сумму расстояний от точки $M$ до всех вершин квадрата: $MA + MB + MC + MD$.

Поскольку $O$ — центр квадрата, расстояния от него до всех вершин равны: $OA = OB = OC = OD$. Найдем это расстояние. Оно равно половине длины диагонали квадрата.

Диагональ $d$ квадрата со стороной $a = 4$ см находится по формуле $d = a\sqrt{2}$. $d = 4\sqrt{2}$ см.

Расстояние от центра квадрата до любой его вершины равно половине диагонали: $OA = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOA$. Его катетами являются отрезок $MO$ (перпендикуляр к плоскости квадрата) и отрезок $OA$ (проекция наклонной $MA$ на плоскость квадрата). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MA$, которая и является расстоянием от точки $M$ до вершины $A$.

$MA^2 = MO^2 + OA^2$

$MA^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$

$MA = \sqrt{17}$ см.

Так как точка $M$ проецируется в центр квадрата $O$, то расстояния от точки $M$ до всех вершин квадрата равны, поскольку треугольники $MOA$, $MOB$, $MOC$ и $MOD$ равны (по двум катетам). Следовательно, $MA = MB = MC = MD = \sqrt{17}$ см.

Сумма расстояний от точки $M$ до всех вершин квадрата равна: $S = MA + MB + MC + MD = 4 \cdot MA = 4\sqrt{17}$ см.

Ответ: $4\sqrt{17}$ см.