Номер 5.45, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.45. Вершины равнобедренных треугольников $ABC$ и $ABD$ общие и расположены в разных плоскостях. Найдите косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$, если $AB=2$ м, $AC=2$ м, $AD=4$ м, $CD=3$ м.

Пусть `\alpha` - искомый угол между плоскостями `(ABC)` и `(ABD)`. Линией пересечения этих плоскостей является прямая `AB`. Угол `\alpha` равен линейному углу двугранного угла, образованного данными плоскостями.

Для построения линейного угла необходимо в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения `AB` в одной и той же точке.

Рассмотрим треугольник `ABC`. По условию он равнобедренный, и даны длины сторон `AB=2` м и `AC=2` м. Учитывая, что `AB` является общей стороной для обоих треугольников, логично предположить, что `AB` является их общим основанием. В этом случае для равнобедренного `\triangle ABC` должно выполняться равенство боковых сторон `AC = BC`. Так как `AC=2` м, то и `BC=2` м. Поскольку `AB` также равно 2 м, `\triangle ABC` является равносторонним.

Рассмотрим треугольник `ABD`. Он также равнобедренный с основанием `AB`. Следовательно, его боковые стороны равны: `AD = BD`. По условию `AD=4` м, значит `BD=4` м.

Выберем на общем основании `AB` точку для проведения перпендикуляров. Пусть `M` — середина отрезка `AB`.

В равностороннем треугольнике `ABC` медиана `CM`, проведенная к стороне `AB`, является также и высотой. Таким образом, `CM \perp AB`.

В равнобедренном треугольнике `ABD` с основанием `AB` медиана `DM`, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, `DM \perp AB`.

Поскольку `CM` и `DM` перпендикулярны общей прямой `AB` и выходят из одной точки `M`, угол `\angle CMD` является линейным углом двугранного угла между плоскостями `(ABC)` и `(ABD)`. Найдем косинус этого угла, рассмотрев треугольник `CMD`.

По теореме косинусов для треугольника `CMD`: `CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)`

Выразим косинус искомого угла: `\cos(\angle CMD) = \frac{CM^2 + DM^2 - CD^2}{2 \cdot CM \cdot DM}`

Теперь найдем длины сторон `CM` и `DM`. Так как `M` — середина `AB`, то `AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1` м.

Треугольник `AMC` является прямоугольным (`\angle AMC = 90^\circ`). По теореме Пифагора: `CM^2 = AC^2 - AM^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3`. Отсюда `CM = \sqrt{3}` м.

Треугольник `AMD` является прямоугольным (`\angle AMD = 90^\circ`). По теореме Пифагора: `DM^2 = AD^2 - AM^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15`. Отсюда `DM = \sqrt{15}` м.

Длина `CD` дана по условию и равна 3 м.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса: `\cos(\angle CMD) = \frac{3 + 15 - 3^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} = \frac{18 - 9}{2 \cdot \sqrt{45}} = \frac{9}{2 \cdot \sqrt{9 \cdot 5}}`

`\cos(\angle CMD) = \frac{9}{2 \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{9}{6\sqrt{5}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}`

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на `\sqrt{5}`: `\cos(\angle CMD) = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}`

Ответ: `\frac{3\sqrt{5}}{10}`.