Номер 5.50, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.50. Найдите модуль вектора $3\bar{a} - 2\bar{b}$, если $(\widehat{\bar{a},\bar{b}}) = 60^\circ$ и $|\bar{a}| = 2$, $|\bar{b}| = 1$.

Чтобы найти модуль вектора $3\vec{a} - 2\vec{b}$, воспользуемся свойством скалярного произведения: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. То есть, $| \vec{c} |^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Обозначим искомый вектор как $\vec{d} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$. Тогда квадрат его модуля будет равен:

$|\vec{d}|^2 = |3\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b}) = (3\vec{a}) \cdot (3\vec{a}) - (3\vec{a}) \cdot (2\vec{b}) - (2\vec{b}) \cdot (3\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{b})$

$= 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), и $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, выражение можно упростить:

$= 9|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется через их модули и косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ и угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Теперь подставим все известные значения в выражение для квадрата модуля искомого вектора:

$|3\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = 9 \cdot |\vec{a}|^2 - 12 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 \cdot |\vec{b}|^2$

$= 9 \cdot (2)^2 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot (1)^2$

$= 9 \cdot 4 - 12 + 4 \cdot 1$

$= 36 - 12 + 4$

$= 28$

Мы нашли квадрат модуля вектора. Чтобы найти сам модуль, необходимо извлечь квадратный корень из полученного значения:

$|3\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$