Номер 5.56, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.56. Все ребра прямой призмы равны, а площадь боковой поверхности равна $48 \text{ дм}^2$. Найдите высоту призмы.

Пусть $a$ — длина ребра прямой призмы. По условию, все ребра призмы равны. Это означает, что боковые ребра и ребра оснований имеют одинаковую длину $a$.

Призма является прямой, следовательно, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Высота прямой призмы $h$ равна длине ее бокового ребра. Таким образом, $h = a$.

Боковая поверхность призмы состоит из нескольких одинаковых граней. Каждая боковая грань представляет собой прямоугольник. Так как призма прямая, стороны этого прямоугольника — это ребро основания и боковое ребро. Поскольку все ребра равны $a$, каждая боковая грань является квадратом со стороной $a$. Площадь одной такой грани равна $a^2$.

Пусть в основании призмы лежит правильный $n$-угольник (поскольку все ребра основания равны). Тогда у призмы будет $n$ боковых граней.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех боковых граней, то есть произведению количества боковых граней на площадь одной грани: $S_{бок} = n \cdot a^2$

По условию, $S_{бок} = 48$ дм². Следовательно, мы имеем уравнение: $n \cdot a^2 = 48$

Из этого уравнения можно выразить $a$: $a = \sqrt{\frac{48}{n}}$

Поскольку высота призмы $h = a$, то $h = \sqrt{\frac{48}{n}}$. В задаче не указан тип многоугольника в основании, то есть значение $n$ неизвестно (где $n$ — целое число, $n \ge 3$). Это означает, что задача имеет несколько возможных решений в зависимости от формы основания. Однако в учебных задачах такого типа часто подразумевается простейший случай, который приводит к целочисленному ответу. Проверим простейший возможный вариант для призмы — треугольную призму, у которой в основании лежит правильный треугольник, то есть $n=3$.

Подставим $n=3$ в наше уравнение: $3 \cdot a^2 = 48$

Решим уравнение относительно $a$: $a^2 = \frac{48}{3}$ $a^2 = 16$ $a = \sqrt{16} = 4$ дм (так как длина ребра является положительной величиной).

Высота призмы $h$ равна длине ребра $a$. $h = a = 4$ дм.

Данный случай ($n=3$) приводит к целочисленному значению высоты, что является веским основанием полагать, что это и есть искомое решение.

Ответ: 4 дм.