Номер 5.54, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.54. Измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $\text{m}$, $\text{2m}$ и $\text{3m}$. Найдите угол между прямыми $\text{BD}$ и $AB_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BD$ и $AB_1$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ параллелепипеда. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку в условии задачи не указано, какое из измерений ($m, 2m, 3m$) соответствует какому ребру ($AB, AD, AA_1$), примем наиболее стандартное распределение, когда измерения даны в порядке ребер, исходящих из начальной точки $A$: $AB = m$ (длина по оси $Oy$), $AD = 2m$ (длина по оси $Ox$), $AA_1 = 3m$ (длина по оси $Oz$).

Теперь определим координаты нужных нам вершин:

• $A$ — начало координат, поэтому $A(0, 0, 0)$.
• $B$ лежит на оси $Oy$, поэтому $B(0, m, 0)$.
• $D$ лежит на оси $Ox$, поэтому $D(2m, 0, 0)$.
• $B_1$ имеет те же координаты $x$ и $y$, что и точка $B$, а координату $z$, что и точка $A_1$, поэтому $B_1(0, m, 3m)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым $BD$ и $AB_1$: Вектор $\vec{BD}$ имеет координаты, равные разности координат точек $D$ и $B$: $\vec{BD} = \{2m - 0; 0 - m; 0 - 0\} = \{2m; -m; 0\}$.

Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $B_1$ и $A$: $\vec{AB_1} = \{0 - 0; m - 0; 3m - 0\} = \{0; m; 3m\}$.

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла $\theta$ между соответствующими векторами по формуле: $\cos\theta = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{AB_1}}{|\vec{BD}| \cdot |\vec{AB_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{BD} \cdot \vec{AB_1} = (2m) \cdot 0 + (-m) \cdot m + 0 \cdot (3m) = 0 - m^2 + 0 = -m^2$.

Найдем длины (модули) векторов: $|\vec{BD}| = \sqrt{(2m)^2 + (-m)^2 + 0^2} = \sqrt{4m^2 + m^2} = \sqrt{5m^2} = m\sqrt{5}$. $|\vec{AB_1}| = \sqrt{0^2 + m^2 + (3m)^2} = \sqrt{m^2 + 9m^2} = \sqrt{10m^2} = m\sqrt{10}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos\theta = \frac{-m^2}{m\sqrt{5} \cdot m\sqrt{10}} = \frac{-m^2}{m^2\sqrt{50}} = -\frac{1}{\sqrt{50}} = -\frac{1}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Если косинус угла между векторами отрицателен, то угол между прямыми $\alpha$ находится как $\alpha = \arccos(|\cos\theta|)$. $\cos\alpha = |-\frac{\sqrt{2}}{10}| = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{10})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{10})$.