Номер 5.47, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.47. Два плоских угла трехгранного угла равны $45^\circ$, а двугранный угол между этими гранями прямой. Найдите третий плоский угол.

Для решения этой задачи можно использовать теорему косинусов для трехгранного угла или применить геометрический подход. Рассмотрим второй, более наглядный способ.

Пусть $S$ — вершина трехгранного угла, а $Sa$, $Sb$, $Sc$ — его ребра. По условию задачи, два плоских угла равны $45^{\circ}$, а двугранный угол между ними прямой. Пусть $\angle ASB = 45^{\circ}$ и $\angle ASC = 45^{\circ}$, где $A$, $B$, $C$ — точки на ребрах $Sa$, $Sb$, $Sc$ соответственно. Двугранный угол при ребре $Sa$ равен $90^{\circ}$. Нам необходимо найти величину третьего плоского угла $\angle BSC$.

1. Выберем на ребре $Sa$ точку $A$ так, чтобы длина отрезка $SA$ была равна 1, то есть $SA = 1$.

2. В плоскости грани $ASB$ проведем из точки $A$ перпендикуляр к ребру $SA$. Пусть он пересекает ребро $Sb$ в точке $B$. Получим прямоугольный треугольник $SAB$ с прямым углом $\angle SAB = 90^{\circ}$.

3. Аналогично, в плоскости грани $ASC$ проведем из точки $A$ перпендикуляр к ребру $SA$. Пусть он пересекает ребро $Sc$ в точке $C$. Получим прямоугольный треугольник $SAC$ с прямым углом $\angle SAC = 90^{\circ}$.

4. По построению, плоскость $ABC$ перпендикулярна ребру $SA$. Следовательно, угол $\angle BAC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $Sa$. По условию, этот угол прямой, то есть $\angle BAC = 90^{\circ}$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAB$. В нем известен катет $SA = 1$ и угол $\angle ASB = 45^{\circ}$. Найдем длины отрезков $AB$ и $SB$:

$AB = SA \cdot \tan(\angle ASB) = 1 \cdot \tan(45^{\circ}) = 1 \cdot 1 = 1$.

$SB = \frac{SA}{\cos(\angle ASB)} = \frac{1}{\cos(45^{\circ})} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$.

6. Аналогично для прямоугольного треугольника $SAC$: катет $SA = 1$ и угол $\angle ASC = 45^{\circ}$. Найдем длины отрезков $AC$ и $SC$:

$AC = SA \cdot \tan(\angle ASC) = 1 \cdot \tan(45^{\circ}) = 1 \cdot 1 = 1$.

$SC = \frac{SA}{\cos(\angle ASC)} = \frac{1}{\cos(45^{\circ})} = \sqrt{2}$.

7. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным, так как $\angle BAC = 90^{\circ}$. Мы нашли его катеты: $AB = 1$ и $AC = 1$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.

$BC = \sqrt{2}$.

8. Наконец, рассмотрим треугольник $SBC$. Мы знаем длины всех его трех сторон: $SB = \sqrt{2}$, $SC = \sqrt{2}$ и $BC = \sqrt{2}$.

9. Так как все стороны треугольника $SBC$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$.

10. Искомый третий плоский угол — это угол $\angle BSC$. В равностороннем треугольнике $SBC$ этот угол равен $60^{\circ}$.

В качестве альтернативы можно применить первую теорему косинусов для трехгранного угла: $\cos\alpha = \cos\beta\cos\gamma + \sin\beta\sin\gamma\cos A$, где $\beta=45^\circ$, $\gamma=45^\circ$ — известные плоские углы, $A=90^\circ$ — двугранный угол между ними, а $\alpha$ — искомый третий плоский угол.

$\cos\alpha = \cos(45^\circ)\cos(45^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(45^\circ)\cos(90^\circ)$

$\cos\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 0$

$\cos\alpha = \frac{2}{4} + 0 = \frac{1}{2}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 60°.