Номер 5.43, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.43. Расстояние от середины отрезка $\text{AB}$, пересекающего плоскость $\alpha$, до нее равно 6 см, а расстояние от точки $\text{B}$ до этой плоскости равно 24 см. Найдите расстояние от точки $\text{A}$ до плоскости $\alpha$, если середина плоскости и точка $\text{A}$ расположены по разные стороны плоскости $\alpha$.

Обозначим плоскость как $ \alpha $. Пусть $A$ и $B$ — концы отрезка, а $M$ — его середина. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим проекции точек $A$, $B$ и $M$ на плоскость $ \alpha $ как $A'$, $B'$ и $M'$ соответственно. Тогда длины перпендикуляров будут:

• $AA'$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $ \alpha $ (искомая величина).
• $BB'$ — расстояние от точки $B$ до плоскости $ \alpha $. По условию, $BB' = 24$ см.
• $MM'$ — расстояние от точки $M$ до плоскости $ \alpha $. По условию, $MM' = 6$ см.

Так как перпендикуляры к одной плоскости параллельны между собой, то $AA' \parallel BB' \parallel MM'$. Фигура $A'ABB'$ представляет собой трапецию (в сечении плоскостью, проходящей через точки $A, B, B'$), где $AA'$ и $BB'$ являются ее основаниями или их продолжениями. Поскольку $M$ — середина отрезка $AB$, то по свойству проекций $M'$ будет серединой отрезка $A'B'$, а отрезок $MM'$ будет средней линией трапеции $A'ABB'$.

Проанализируем расположение точек относительно плоскости $ \alpha $:

1. Отрезок $AB$ пересекает плоскость $ \alpha $, следовательно, точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости.
2. В условии сказано: "середина плоскости и точка А расположены по разные стороны плоскости α". Фраза "середина плоскости" не имеет смысла, очевидно, это опечатка, и имелась в виду "середина отрезка". Таким образом, середина отрезка $M$ и точка $A$ расположены по разные стороны от плоскости $ \alpha $.
3. Из этих двух условий следует, что точки $M$ и $B$ находятся по одну сторону от плоскости $ \alpha $, а точка $A$ — по другую.

Для решения задачи удобнее всего воспользоваться методом координат. Расположим систему координат так, чтобы плоскость $ \alpha $ совпадала с плоскостью $Oxy$. Тогда расстояние от любой точки до плоскости $ \alpha $ будет равно модулю ее аппликаты (координаты $z$).

Пусть точки $M$ и $B$ находятся под плоскостью $ \alpha $ (имеют отрицательные аппликаты), а точка $A$ — над ней (имеет положительную аппликату). Тогда их аппликаты равны:

• $z_B = -24$
• $z_M = -6$
• $z_A > 0$

Поскольку $M$ — середина отрезка $AB$, ее аппликата равна полусумме аппликат точек $A$ и $B$: $z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Подставим известные значения в эту формулу: $-6 = \frac{z_A + (-24)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $-12 = z_A - 24$

Выразим $z_A$: $z_A = 24 - 12$ $z_A = 12$

Расстояние от точки $A$ до плоскости $ \alpha $ равно модулю ее аппликаты: $AA' = |z_A| = |12| = 12$ см.

Ответ: 12 см.