Номер 32, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

32. Как определяется объем шара?

Объем шара — это величина, характеризующая пространство, занимаемое этим трехмерным телом. Он определяется на основе его радиуса ($R$) или диаметра ($D$). Для вычисления объема существует стандартная математическая формула.

Формула для вычисления объема $V$ шара с радиусом $R$ следующая:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

В этой формуле: V — это искомый объем; R — это радиус шара, то есть расстояние от его центра до любой точки на поверхности; $\pi$ (пи) — это математическая константа, значение которой приблизительно равно $3.14159$.

Поскольку диаметр шара в два раза больше радиуса ($D = 2R$), радиус можно выразить как $R = D/2$. Подставив это в основную формулу, можно получить формулу для вычисления объема через диаметр:

$V = \frac{4}{3}\pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{D^3}{8} = \frac{1}{6}\pi D^3$

Пример вычисления:

Допустим, нам нужно найти объем шара с радиусом 3 см. Сначала возводим радиус в третью степень: $3^3 = 27$ см$^3$. Затем подставляем это значение в формулу: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27$. Упрощая выражение, получаем: $V = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi$ см$^3$. Если необходимо получить приближенное числовое значение, можно использовать $\pi \approx 3.14$: $V \approx 36 \cdot 3.14 = 113.04$ см$^3$.

Способ получения формулы:

Формула объема шара строго выводится с помощью методов интегрального исчисления. Шар рассматривается как тело вращения, полученное вращением полукруга вокруг своего диаметра. Объем вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения (которое является кругом) по оси, проходящей через центр шара, в пределах от $-R$ до $R$. Площадь сечения на расстоянии $x$ от центра равна $S(x) = \pi r(x)^2$. Из теоремы Пифагора следует, что $r(x)^2 = R^2 - x^2$. Интегрируя, получаем: $V = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx = \pi [R^2x - \frac{x^3}{3}]_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Ответ: Объем шара определяется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем, $R$ — радиус шара. Чтобы рассчитать объем, необходимо радиус возвести в куб, а затем умножить полученное значение на число $\pi$ и на дробь $\frac{4}{3}$.