Номер 26, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Напишите уравнение сферы и ее касательной плоскости.

Уравнение сферы

Сфера — это геометрическое место точек в трехмерном пространстве, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром сферы. Расстояние от центра до любой точки сферы называется радиусом.

Пусть центр сферы находится в точке $C(x_0, y_0, z_0)$, а радиус равен $R$. Пусть $M(x, y, z)$ — произвольная точка на сфере. По определению, расстояние от $M$ до $C$ равно $R$. Расстояние между двумя точками $M(x, y, z)$ и $C(x_0, y_0, z_0)$ вычисляется по формуле: $|MC| = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$.

Так как $|MC| = R$, то, возведя обе части равенства в квадрат, получим каноническое уравнение сферы: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$.

Если центр сферы совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$, то уравнение принимает более простой вид: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Ответ: Каноническое уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$.

Уравнение касательной плоскости

Касательная плоскость к сфере в данной точке — это плоскость, проходящая через эту точку и имеющая со сферой только одну общую точку (точку касания). Основное свойство касательной плоскости заключается в том, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости.

Рассмотрим сферу, заданную уравнением $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$. Пусть $M_1(x_1, y_1, z_1)$ — точка касания на сфере. Вектор, соединяющий центр сферы $C(x_0, y_0, z_0)$ с точкой касания $M_1$, является нормальным вектором (вектором нормали) $\vec{n}$ для касательной плоскости: $\vec{n} = \vec{CM_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид: $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$.

Подставив координаты вектора нормали, получим уравнение касательной плоскости: $(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) + (z_1 - z_0)(z - z_1) = 0$.

Это уравнение можно преобразовать к другому, часто более удобному виду. Если раскрыть скобки и учесть, что точка $M_1(x_1, y_1, z_1)$ лежит на сфере (т.е. $(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2 = R^2$), то уравнение примет вид: $(x_1 - x_0)(x - x_0) + (y_1 - y_0)(y - y_0) + (z_1 - z_0)(z - z_0) = R^2$.

В частном случае, для сферы с центром в начале координат $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, уравнение касательной плоскости в точке $M_1(x_1, y_1, z_1)$ упрощается до: $x_1x + y_1y + z_1z = R^2$.

Ответ: Уравнение касательной плоскости к сфере $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$ в точке касания $(x_1, y_1, z_1)$ имеет вид $(x_1 - x_0)(x - x_1) + (y_1 - y_0)(y - y_1) + (z_1 - z_0)(z - z_1) = 0$. Эквивалентная форма: $(x_1 - x_0)(x - x_0) + (y_1 - y_0)(y - y_0) + (z_1 - z_0)(z - z_0) = R^2$.