Номер 20, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Как определяются углы в пространстве? Каковы их особенности?

Как определяются углы в пространстве?

В стереометрии (геометрии в пространстве) определяются углы между различными комбинациями прямых и плоскостей. Определение каждого такого угла сводится к нахождению угла между пересекающимися прямыми в некоторой плоскости.

1. Угол между двумя пересекающимися прямыми.

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных этими прямыми. Его величина находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ (включительно).

2. Угол между скрещивающимися прямыми.

Углом между двумя скрещивающимися прямыми (прямыми, которые не лежат в одной плоскости) называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Этот угол не зависит от выбора точки, через которую проводятся параллельные прямые. Его величина также лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если угол равен $90^\circ$, прямые называются перпендикулярными.

3. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью определяется следующим образом:

- Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол считается равным $0^\circ$.

- Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^\circ$.

- Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Этот угол является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в плоскости и проходящими через точку пересечения. Величина этого угла находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Для нахождения этого угла $\phi$, если известен угол $\psi$ между прямой и нормалью к плоскости, используется соотношение $\phi = 90^\circ - \psi$.

4. Угол между двумя плоскостями.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения в одной и той же точке. Этот угол называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями. Его величина может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. Однако, когда говорят просто об "угле между плоскостями", обычно имеют в виду наименьший из двух смежных двугранных углов, то есть угол в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Если плоскости параллельны, угол между ними равен $0^\circ$. Если угол равен $90^\circ$, плоскости называются перпендикулярными.

Вычисление углов удобно производить с помощью векторов. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — направляющие векторы прямых, а $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ — нормальные векторы плоскостей.

- Угол $\phi$ между прямыми: $\cos \phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

- Угол $\phi$ между прямой и плоскостью: $\sin \phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n_1}|}{|\vec{a}| |\vec{n_1}|}$.

- Угол $\phi$ между плоскостями: $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.

Ответ: Углы в пространстве определяются между прямыми и плоскостями. Угол между скрещивающимися прямыми определяется через параллельный перенос. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Угол между плоскостями — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Все эти определения сводят пространственную задачу к планиметрической.

Каковы их особенности?

Углы в пространстве обладают рядом характерных особенностей:

1. Сведение к плоскому углу.

Ключевая особенность определения любого пространственного угла — это его сведение к измерению угла на плоскости. Для каждого типа пространственного угла (между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) существует специальное построение, позволяющее найти или построить соответствующий ему плоский угол.

2. Диапазон значений.

Большинство углов в пространстве (между прямыми, между прямой и плоскостью) по определению являются острыми или прямыми, то есть их величина лежит в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$. Это связано с тем, что углом обычно называют наименьший из возможных. Угол между плоскостями (двугранный угол) может быть тупым (до $180^\circ$), но на практике часто рассматривают острый угол между ними.

3. Принцип наименьшего угла.

При определении угла между пересекающимися прямыми выбирается наименьший из смежных углов. Угол между прямой и плоскостью также является наименьшим из углов между данной прямой и любой прямой, лежащей в плоскости и проходящей через точку их пересечения. Этот принцип обеспечивает однозначность определения угла.

4. Использование векторного метода.

Особенностью работы с углами в пространстве является широкое применение координатно-векторного метода. С помощью скалярного произведения векторов можно легко вычислять косинусы (или синусы) углов, не прибегая к сложным геометрическим построениям. Формулы, использующие скалярное произведение, являются универсальным инструментом для решения задач на нахождение углов.

5. Инвариантность.

Определения углов в пространстве корректны, то есть не зависят от выбора вспомогательных элементов. Например, угол между скрещивающимися прямыми не изменится, если для его нахождения выбрать другую точку в пространстве и провести через неё параллельные прямые.

Ответ: Особенностями углов в пространстве являются: сведение любой задачи к планиметрической, ограниченный диапазон значений (чаще всего от $0^\circ$ до $90^\circ$), использование принципа наименьшего угла для однозначности, широкое применение мощного векторного метода для вычислений и инвариантность определений относительно выбора вспомогательных построений.