Номер 19, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Напишите условие перпендикулярности двух прямых (пря-мой и плоскости, двух плоскостей).

Условие перпендикулярности двух прямых

Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (ортогональны).

Пусть в пространстве заданы две прямые. Прямая $L_1$ имеет направляющий вектор $\vec{s_1} = \{l_1; m_1; n_1\}$, а прямая $L_2$ — направляющий вектор $\vec{s_2} = \{l_2; m_2; n_2\}$.

Условием перпендикулярности векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ является равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 0$

В координатной форме это условие записывается следующим образом:

$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$

Для частного случая прямых на плоскости:

1. Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то условие их перпендикулярности: $k_1 k_2 = -1$.

2. Если прямые заданы общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, то условием их перпендикулярности является ортогональность их нормальных векторов $\vec{n_1}=\{A_1; B_1\}$ и $\vec{n_2}=\{A_2; B_2\}$. Это эквивалентно условию $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Ответ: Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых является равенство нулю скалярного произведения их направляющих векторов: $\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 0$, что в координатах имеет вид $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой коллинеарен вектору нормали к плоскости.

Пусть прямая $L$ задана своим направляющим вектором $\vec{s} = \{l; m; n\}$, а плоскость $\Pi$ задана общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали этой плоскости имеет координаты $\vec{n} = \{A; B; C\}$.

Условие коллинеарности векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$ означает, что существует такое ненулевое число $k$, что $\vec{s} = k\vec{n}$. В координатной форме это выражается через пропорциональность их соответствующих координат:

$\frac{l}{A} = \frac{m}{B} = \frac{n}{C}$

Это равенство является необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямой и плоскости (при условии, что $A, B, C$ не равны нулю одновременно).

Ответ: Условием перпендикулярности прямой с направляющим вектором $\vec{s} = \{l; m; n\}$ и плоскости с вектором нормали $\vec{n} = \{A; B; C\}$ является коллинеарность этих векторов, что выражается через пропорциональность их координат: $\frac{l}{A} = \frac{m}{B} = \frac{n}{C}$.

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их векторы нормалей перпендикулярны (ортогональны).

Пусть плоскость $\Pi_1$ задана уравнением $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ (вектор нормали $\vec{n_1} = \{A_1; B_1; C_1\}$), а плоскость $\Pi_2$ — уравнением $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ (вектор нормали $\vec{n_2} = \{A_2; B_2; C_2\}$).

Условие перпендикулярности векторов нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$, а следовательно и плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$, заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

В координатной форме это условие записывается так:

$A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$

Ответ: Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух плоскостей является равенство нулю скалярного произведения их векторов нормалей: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$, что в координатах имеет вид $A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$.