Номер 21, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Какие тела (поверхности) называются телами (поверхностями) вращения? Что такое ось, осевое сечение тела вращения? Что такое образующая?

Какие тела (поверхности) называются телами (поверхностями) вращения?

Тело вращения — это объёмное тело, которое образуется при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной замкнутой линией, вокруг прямой, лежащей в той же плоскости. Эта прямая называется осью вращения. Важно, чтобы ось вращения не пересекала внутренние точки фигуры.

Поверхность вращения — это поверхность, которая образуется при вращении некоторой линии (которая называется образующей) вокруг неподвижной прямой (оси вращения). Поверхность вращения является границей тела вращения.

Примерами тел вращения являются:

• Цилиндр — образуется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси.
• Конус — образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов как оси.
• Шар — образуется вращением полукруга вокруг его диаметра как оси.
• Тор (похож на бублик) — образуется вращением окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости этой окружности, но не пересекающей её.

Ответ: Телами (поверхностями) вращения называют объёмные тела (или их границы), полученные в результате вращения плоской фигуры (или линии) вокруг некоторой прямой, называемой осью вращения, которая лежит в той же плоскости.

Что такое ось, осевое сечение тела вращения?

Ось вращения — это прямая, вокруг которой происходит вращение плоской фигуры для образования тела вращения. Все точки вращающейся фигуры, не лежащие на оси, движутся по окружностям. Центры этих окружностей лежат на оси вращения, а сами окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси.

Осевое сечение — это сечение тела вращения плоскостью, которая проходит через его ось вращения. Осевое сечение всегда симметрично относительно оси вращения.

Например:

• Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник.
• Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.
• Осевое сечение шара — это круг (называемый большим кругом).

Ответ: Ось — это прямая, вокруг которой вращается плоская фигура при образовании тела вращения. Осевое сечение — это сечение тела плоскостью, проходящей через эту ось.

Что такое образующая?

Образующая — это линия (чаще всего отрезок прямой или кривой), вращением которой вокруг оси образуется боковая поверхность тела вращения. Каждая точка образующей при вращении описывает окружность (или остается на месте, если лежит на оси).

Примеры образующих:

• Для цилиндра, образованного вращением прямоугольника вокруг одной из сторон, образующей является противоположная ей сторона прямоугольника. Это отрезок, параллельный оси вращения.
• Для конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, образующей является гипотенуза этого треугольника. Если $H$ — высота конуса (катет), а $R$ — радиус основания (другой катет), то длина образующей $L$ (гипотенуза) вычисляется по теореме Пифагора: $L = \sqrt{H^2 + R^2}$.
• Для сферы образующей является полуокружность, которая вращается вокруг своего диаметра.

Ответ: Образующая — это линия, которая при вращении вокруг оси формирует боковую поверхность тела вращения.