Номер 23, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

23. По каким формулам вычисляются площади боковой и полной поверхностей цилиндра и конуса?

Цилиндр

Для вычисления площадей поверхностей прямого кругового цилиндра вводятся следующие обозначения: $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, которая представляет собой произведение длины окружности основания на высоту цилиндра. Разверткой боковой поверхности является прямоугольник со сторонами $2\pi r$ (длина окружности основания) и $h$.

$S_{бок} = 2\pi rh$

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Каждое основание представляет собой круг площадью $S_{осн} = \pi r^2$.

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2$

Эту формулу можно записать в более компактном виде, вынеся общий множитель за скобки:

$S_{полн} = 2\pi r(h + r)$

Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = 2\pi r(h + r)$.

Конус

Для вычисления площадей поверхностей прямого кругового конуса используются следующие параметры: $r$ — радиус основания, $h$ — высота конуса, $l$ — длина образующей. Эти величины связаны через теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей: $l^2 = r^2 + h^2$, откуда $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, которая является площадью развертки боковой поверхности — кругового сектора. Радиус этого сектора равен образующей $l$, а длина дуги — длине окружности основания конуса $2\pi r$.

$S_{бок} = \pi rl$

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и площади основания. Основание конуса — это круг площадью $S_{осн} = \pi r^2$.

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi rl + \pi r^2$

Вынеся общий множитель за скобки, получим:

$S_{полн} = \pi r(l + r)$

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi rl$. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = \pi r(l + r)$.