Номер 18, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Напишите условие параллельности двух прямых (прямой и плоскости, двух плоскостей).

Условие параллельности двух прямых

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. В аналитической геометрии условие параллельности двух прямых формулируется через их направляющие векторы.

Пусть в трехмерном пространстве даны две прямые $L_1$ и $L_2$ своими каноническими уравнениями:

$L_1: \frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$

$L_2: \frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$

Направляющий вектор прямой $L_1$ — это $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$, а прямой $L_2$ — это $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны (параллельны). Условие коллинеарности векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ заключается в пропорциональности их соответствующих координат:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$

Это условие означает, что прямые либо параллельны, либо совпадают. Чтобы прямые были именно параллельны, но не совпадали, необходимо, чтобы точка одной прямой не принадлежала другой. Например, точка $M_1(x_1, y_1, z_1)$ прямой $L_1$ не должна удовлетворять уравнению прямой $L_2$.

Ответ: Две прямые параллельны, если их направляющие векторы $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$ коллинеарны, то есть выполняется соотношение $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$. Для строгого параллелизма (без совпадения) точка одной прямой не должна лежать на другой.

Условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. В аналитической геометрии это условие выражается через направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости.

Пусть дана прямая $L$ с направляющим вектором $\vec{s} = (l, m, n)$ и точка на прямой $M_0(x_0, y_0, z_0)$, и плоскость $\Pi$, заданная общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, с нормальным вектором $\vec{n} = (A, B, C)$.

Прямая $L$ параллельна плоскости $\Pi$ тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор $\vec{s}$ перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$. Условие перпендикулярности двух векторов — равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 0$

В координатной форме это записывается как:

$A \cdot l + B \cdot m + C \cdot n = 0$

Это условие означает, что прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней. Чтобы прямая была параллельна плоскости, но не лежала в ней, необходимо, чтобы любая точка прямой не принадлежала плоскости. Для точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ должно выполняться неравенство:

$Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \neq 0$

Ответ: Прямая с направляющим вектором $\vec{s} = (l, m, n)$ параллельна плоскости с нормальным вектором $\vec{n} = (A, B, C)$, если их скалярное произведение равно нулю: $A \cdot l + B \cdot m + C \cdot n = 0$. Для строгого параллелизма (когда прямая не лежит в плоскости) точка, принадлежащая прямой, не должна удовлетворять уравнению плоскости.

Условие параллельности двух плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. В аналитической геометрии условие параллельности двух плоскостей выражается через их нормальные векторы.

Пусть даны две плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ своими общими уравнениями:

$\Pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$

$\Pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Нормальный вектор плоскости $\Pi_1$ — это $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$, а плоскости $\Pi_2$ — это $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны. Условие коллинеарности векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ заключается в пропорциональности их соответствующих координат:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Это условие означает, что плоскости либо параллельны, либо совпадают. Если коэффициенты при переменных пропорциональны, но это соотношение не распространяется на свободные члены, то плоскости параллельны и не совпадают:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$

Если же все коэффициенты пропорциональны ($\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$), то плоскости совпадают.

Ответ: Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны, то есть выполняется условие пропорциональности коэффициентов при координатах: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$. Для строгого параллелизма (без совпадения) это соотношение не должно выполняться для свободных членов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$.