Номер 15, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Что такое движение в пространстве? Какое преобразование называется параллельным переносом, симметрией относительно плоскости?

Движение в пространстве

Движением (или изометрией) в пространстве называется такое преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками.

Это означает, что если взять две произвольные точки $A$ и $B$ пространства и применить к ним преобразование движения, в результате чего они перейдут в точки $A'$ и $B'$, то расстояние между точками $A'$ и $B'$ будет равно расстоянию между точками $A$ и $B$. Математически это записывается как $|A'B'| = |AB|$.

Вследствие сохранения расстояний, движение сохраняет и другие геометрические свойства фигур:

• Прямые переходят в прямые, лучи — в лучи, отрезки — в отрезки.
• Плоскости переходят в плоскости.
• Углы между прямыми и плоскостями сохраняются.
• Любая фигура переходит в конгруэнтную ей фигуру.

Основными видами движений в пространстве являются параллельный перенос, симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия), симметрия относительно точки (центральная симметрия) и поворот вокруг прямой.

Ответ: Движение в пространстве — это преобразование, сохраняющее расстояния между точками. При движении любая фигура переходит в равную ей фигуру.

Параллельный перенос

Параллельным переносом на заданный вектор $\vec{v}$ называется преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{v}$. То есть, $\vec{MM'} = \vec{v}$.

Это означает, что все точки пространства смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Если точка $M$ имеет координаты $(x, y, z)$, а вектор переноса $\vec{v}$ имеет координаты $(a, b, c)$, то ее образ $M'$ будет иметь координаты $(x', y', z')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x + a$

$y' = y + b$

$z' = z + c$

Параллельный перенос является движением, так как он сохраняет расстояния. Если взять две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то их образы $A'(x_1+a, y_1+b, z_1+c)$ и $B'(x_2+a, y_2+b, z_2+c)$ будут находиться на том же расстоянии друг от друга:

$|AB|^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$

$|A'B'|^2 = ((x_2+a)-(x_1+a))^2 + ((y_2+b)-(y_1+b))^2 + ((z_2+c)-(z_1+c))^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$

Следовательно, $|AB| = |A'B'|$.

Ответ: Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются на один и тот же вектор.

Симметрия относительно плоскости

Симметрией относительно плоскости $\alpha$ (или зеркальной симметрией) называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, симметричную ей относительно плоскости $\alpha$.

Построение симметричной точки $M'$ для точки $M$ выполняется следующим образом:

• Если точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, то она переходит сама в себя, то есть $M' = M$.
• Если точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, то для нахождения $M'$ через точку $M$ проводится прямая $l$, перпендикулярная плоскости $\alpha$. Точка $M'$ лежит на прямой $l$ по другую сторону от плоскости $\alpha$ на том же расстоянии, что и точка $M$.

Иными словами, плоскость $\alpha$ является плоскостью перпендикуляра, проведенного к середине отрезка $MM'$.

Например, при симметрии относительно координатной плоскости $Oxy$ (задаваемой уравнением $z=0$), точка с координатами $(x, y, z)$ переходит в точку с координатами $(x, y, -z)$.

Симметрия относительно плоскости является движением. Для произвольных точек $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ их образы при симметрии относительно плоскости $Oxy$ будут $A'(x_1, y_1, -z_1)$ и $B'(x_2, y_2, -z_2)$. Расстояние между ними:

$|A'B'|^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (-z_2 - (-z_1))^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_1-z_2)^2 = |AB|^2$

Таким образом, расстояние сохраняется.

Ответ: Симметрия относительно плоскости $\alpha$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что плоскость $\alpha$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.