Номер 17, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Напишите уравнение прямой и уравнение плоскости в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве

Прямая в трехмерном пространстве может быть определена несколькими способами. Основной способ — задать точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор, который параллелен этой прямой.

Пусть дана точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$, лежащая на прямой, и ненулевой направляющий вектор $\vec{s} = (l, m, n)$, параллельный этой прямой. Пусть $M(x, y, z)$ — произвольная точка на прямой.

• Векторно-параметрическое уравнение прямой. Вектор $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ коллинеарен направляющему вектору $\vec{s}$. Это означает, что существует такое число $t$ (параметр), что $\vec{M_0M} = t\vec{s}$. Если $\vec{r}$ и $\vec{r_0}$ — радиус-векторы точек $M$ и $M_0$ соответственно, то уравнение можно записать в виде:

  $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{s}$, где $t \in (-\infty, +\infty)$.

• Параметрические уравнения прямой. Расписав векторное уравнение по координатам, получаем систему параметрических уравнений:

  $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}$, где $t$ — параметр.

• Канонические уравнения прямой. Если все координаты направляющего вектора $l, m, n$ отличны от нуля, то, выразив параметр $t$ из каждого параметрического уравнения и приравняв полученные выражения, получим канонические уравнения:

  $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$.

  Если одна из координат направляющего вектора равна нулю (например, $l=0$), то соответствующее уравнение в системе записывается в виде $x - x_0 = 0$. Например, если $l=0$, а $m,n \neq 0$, то уравнения будут $\frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}, x = x_0$.

• Общие уравнения прямой. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. В этом случае прямая задается системой двух линейных уравнений:

  $\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$,

  при условии, что нормальные векторы этих плоскостей $\vec{n_1}=(A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2, C_2)$ не коллинеарны.

Ответ: Основными видами уравнения прямой в пространстве являются каноническое уравнение $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$ и параметрические уравнения $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — точка на прямой, а $\vec{s}=(l, m, n)$ — её направляющий вектор.

Уравнение плоскости в пространстве

Плоскость в трехмерном пространстве однозначно определяется точкой, принадлежащей этой плоскости, и вектором, перпендикулярным (нормальным) к этой плоскости.

Пусть дана точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$, лежащая на плоскости, и ненулевой нормальный вектор $\vec{n} = (A, B, C)$, перпендикулярный этой плоскости. Пусть $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости.

• Общее уравнение плоскости. Вектор $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ лежит в плоскости и, следовательно, перпендикулярен нормальному вектору $\vec{n}$. Скалярное произведение этих векторов равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.

  В координатной форме это записывается как:

  $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

  Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим общее уравнение плоскости:

  $Ax + By + Cz + D = 0$,

  где $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$. Коэффициенты $A, B, C$ являются координатами нормального вектора $\vec{n}=(A, B, C)$ к плоскости.

• Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если плоскость проходит через три точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, не лежащие на одной прямой, то для любой точки плоскости $M(x,y,z)$ векторы $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$ компланарны (лежат в одной плоскости). Условие компланарности — равенство нулю их смешанного произведения, что приводит к уравнению в виде определителя:

  $\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$.

• Уравнение плоскости в отрезках. Если плоскость пересекает оси координат $Ox, Oy, Oz$ в точках $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$ и $(0, 0, c)$ соответственно (где $a, b, c \neq 0$), то её уравнение можно записать в виде:

  $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Ответ: Наиболее общим является уравнение плоскости вида $Ax + By + Cz + D = 0$, где $(A, B, C)$ — координаты нормального вектора к плоскости, а $A^2+B^2+C^2 \neq 0$.