Номер 16, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Какие фигуры в пространстве называются подобными? Что такое преобразование подобия?

Какие фигуры в пространстве называются подобными?

Две фигуры (тела) F и F' в пространстве называются подобными, если существует преобразование, называемое преобразованием подобия, которое переводит одну фигуру в другую. Интуитивно это означает, что фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами. Одну фигуру можно получить из другой путем увеличения или уменьшения (масштабирования), а также последующего перемещения в пространстве (с помощью движения: параллельного переноса, поворота, симметрии).

Основное свойство подобных фигур заключается в том, что отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек постоянно. Если взять две любые точки A и B фигуры F и соответствующие им точки A' и B' фигуры F', то отношение длин отрезков A'B' и AB будет постоянным числом, которое называется коэффициентом подобия $k$.

$|A'B'| = k \cdot |AB|$, где $k > 0$.

- Если $k = 1$, фигуры называются конгруэнтными (равными), что является частным случаем подобия.

- Если $k > 1$, фигура F' является увеличенной копией фигуры F.

- Если $0 < k < 1$, фигура F' является уменьшенной копией фигуры F.

Например, любые два шара подобны, любые два куба подобны. Два произвольных конуса или две произвольные пирамиды в общем случае не подобны, но они будут подобны, если их соответствующие углы равны, а отношения соответствующих линейных размеров одинаковы.

Ответ: Фигуры в пространстве называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но могут иметь разный размер; более строго, если одну фигуру можно получить из другой с помощью преобразования подобия.

Что такое преобразование подобия?

Преобразование подобия (или просто подобие) — это такое преобразование пространства, при котором для любых двух точек A и B и их образов A' и B' расстояние между образами в $k$ раз отличается от расстояния между исходными точками, где $k$ — постоянное для данного преобразования положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Математически это записывается как: $|A'B'| = k \cdot |AB|$.

Преобразование подобия обладает следующими свойствами:

- Оно переводит прямые в прямые, отрезки в отрезки, лучи в лучи, плоскости в плоскости.

- Оно сохраняет углы между прямыми и плоскостями.

- Оно является композицией (последовательным выполнением) двух более простых преобразований: гомотетии и движения (изометрии).

Гомотетия — это преобразование, которое изменяет размеры фигуры (растягивает или сжимает ее относительно некоторого центра), но сохраняет ее форму и ориентацию. Движение (изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояния (например, параллельный перенос, поворот, симметрия).

Таким образом, любое преобразование подобия можно представить как гомотетию с некоторым коэффициентом $k$ и последующее движение, или наоборот. Это означает, что чтобы получить одну подобную фигуру из другой, нужно сначала изменить ее масштаб (увеличить или уменьшить), а затем переместить в нужное место и ориентацию в пространстве.

Ответ: Преобразование подобия — это преобразование пространства, изменяющее все расстояния в одинаковое число раз ($k > 0$).